10、机械场与流场的数值模拟方法解析

机械场与流场的数值模拟方法解析

1. 机械场中的有限元处理

1.1 单元刚度矩阵的构建

在机械场的有限元分析中，对于四边形和六面体单元，BEAS（增强假定应变）的选择有详细讨论。通过相同的近似方法处理 $\eta_h$，可将方程 (3.151) 在单元层面改写为矩阵形式：
[
\begin{bmatrix}
k_{uu}^e & k_{u\alpha}^e \
k_{\alpha u}^e & k_{\alpha\alpha}^e
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u^e \
\alpha^e
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
f^e \
0
\end{bmatrix}
]
其中各矩阵元素定义如下：
- (k_{uu}^e = \int_{\Omega_e} [B_u]^T [c] B_u d\Omega)
- (k_{u\alpha}^e = \int_{\Omega_e} [B_u]^T [c] \tilde{BEAS} d\Omega)
- (k_{\alpha\alpha}^e = \int_{\Omega_e} [\tilde{BEAS}]^T [c] \tilde{BEAS} d\Omega)

类似于非协调模态方法，可在单元层面进行静态凝聚，得到修正后的单元刚度矩阵：
(\tilde{k}^e = k_{uu}^e - k_{u\alpha}^e [k_{\alpha\alpha}^e]^{-1}