4、几何相机校准：线性与非线性方法解析

几何相机校准：线性与非线性方法解析

1. 投影矩阵相关概念

在相机成像的过程中，投影矩阵起着关键作用。对于弱透视投影，其投影矩阵有着特定的形式和参数定义。

弱透视投影中，投影矩阵 $M$ 是一个 $2×4$ 的矩阵，其中 $p$ 是点 $p$ 的非齐次坐标向量。$2×3$ 矩阵 $A$ 和 $2$ - 向量 $b$ 分别定义为：
- $A = \frac{1}{Z_r}K_2R_2$
- $b = \frac{1}{Z_r}K_2t_2 + p_0$

这里，$R_2$ 是由旋转矩阵 $R$ 的前两行构成的 $2×3$ 矩阵，$t_2$ 是由平移向量 $t$ 的前两个坐标构成的 $2$ - 向量。需要注意的是，$t_3$ 并不出现在 $M$ 的表达式中，并且 $t_2$ 和 $p_0$ 存在耦合关系，即当 $t_2$ 替换为 $t_2 + a$，$p_0$ 替换为 $p_0 - \frac{1}{Z_r}K_2a$ 时，投影矩阵 $M$ 保持不变。这种冗余性使得我们可以任意选择 $x_0 = y_0 = 0$，也就是说，图像中心的位置对于弱透视投影来说是无关紧要的。

同时，$Z_r$、$\alpha$ 和 $\beta$ 的值在 $M$ 的表达式中也是相互关联的，并且在大多数应用中，$Z_r$ 的值事先是未知的。因此，我们可以将弱透视投影矩阵 $M$ 写为：
$M = \frac{1}{Z_r}
\begin{bmatrix}
k & s \
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_2 \
t_2
\e