22、控制与系统工程中的卡尔曼滤波技术详解

控制与系统工程中的卡尔曼滤波技术详解

在控制与系统工程领域，卡尔曼滤波是一种重要的参数和变量估计方法。本文将详细介绍线性卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器（EKF）和无迹卡尔曼滤波器（UKF）的原理、应用及相关算法。

1. 线性连续卡尔曼滤波器

线性连续卡尔曼滤波器在时不变系统（所有矩阵为常数）中有着重要应用。然而，其求解过程涉及矩阵里卡蒂方程，该方程求解困难，尤其对于时变系统，这限制了连续时间卡尔曼滤波器的实际应用。

有趣的是，线性连续卡尔曼滤波器的结构与Luenberger观测器完全相同。二者的区别仅在于增益的计算方式。Luenberger观测器理论允许用户将观测器的极点放置在期望的位置，从而根据自身意愿确定观测器的动态行为，前提是所有信号具有确定性。而卡尔曼滤波器则提供了一种计算增益的算法，使得估计误差的方差最小，假设确定性系统受到两个具有已知协方差矩阵的零均值正态分布随机过程的影响。

2. 扩展卡尔曼滤波器（EKF）用于非线性系统

在现实中，许多系统表现出非线性特性。例如，水下物体与参考物体之间的距离测量可以基于位置数据使用勾股定理建模，这显然会导致非线性输出方程。此外，状态方程也可能是非线性的。

为了处理非线性系统，通常采用线性化方法。一种标准方法是使用泰勒级数，将非线性函数表示为在某一点（操作点）的导数的无穷级数和。只要变量保持在操作点附近，就可以在线性项之后截断级数，从而得到非线性函数的线性近似。

扩展卡尔曼滤波器（EKF）的原理是使用当前估计值作为操作点对系统模型进行线性化，然后根据线性卡尔曼滤波器的算法进行下一次估计。然而，这种方法存在一定风险。如果当前估计值与真实状态相差太远，即使