22、控制与系统工程中的卡尔曼滤波算法详解

控制与系统工程中的卡尔曼滤波算法详解

在控制与系统工程领域，参数和变量估计是一项至关重要的任务。为了实现这一目标，我们会用到多种数学工具，其中卡尔曼滤波算法在状态估计方面表现出色。接下来，我们将深入探讨线性卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器（EKF）和无迹卡尔曼滤波器（UKF）。

线性连续卡尔曼滤波器

线性连续卡尔曼滤波器在时不变系统（所有矩阵均为常数）中有着广泛应用。不过，其应用受限于矩阵黎卡提方程的求解难度，尤其是对于时变系统，这一方程的求解极为繁琐，从而限制了连续时间卡尔曼滤波器的实际可用性。

有趣的是，线性连续卡尔曼滤波器的结构与Luenberger观测器完全相同。二者的区别仅在于增益的计算方式。Luenberger观测器理论允许用户将观测器的极点放置在期望的位置，从而根据自身意愿确定观测器的动态行为，前提是所有信号的行为是确定性的。而卡尔曼滤波器则提供了一种算法，用于计算增益，以实现估计误差的最小方差，假设确定性系统受到两个已知协方差矩阵的零均值正态分布随机过程的影响。

扩展卡尔曼滤波器（EKF）

在现实世界中，许多系统表现出非线性行为。例如，水下物体与参考物体之间的距离测量可以使用勾股定理建模，这显然会导致非线性输出方程。此外，状态方程也可能是非线性的。对于这类非线性系统，传统的卡尔曼滤波器不再适用。

为了解决这个问题，我们可以采用线性化的方法，将非线性系统模型转化为线性系统模型，从而应用线性系统的数学工具。常用的线性化方法是泰勒级数展开。泰勒级数将函数表示为基于某一点（操作点）导数的无穷级数之和。只要变量保持在操作点附近，就可以在线性项之后截断级数，从而得到非线性函数的线性近似。

然而，