17、概率与随机变量的数学工具解析

概率与随机变量的数学工具解析

1. 概率公理

俄罗斯数学家科尔莫戈罗夫引入了概率的三条公理，为概率符号赋予了与相对频率类似的性质：
- 公理 1 ：对于每个事件 (A)，存在一个非负实数概率，记为 (P(A))，且 (0 \leq P(A) \leq 1)。
- 公理 2 ：整个样本空间 (S) 的概率等于 1，即 (P(S) = 1)。
- 公理 3 ：对于任意互斥事件序列 (A_1, A_2, \cdots)，它们的并集的概率等于各个事件概率之和，即 (P(\bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i) = \sum_{i = 1}^{\infty} P(A_i))，前提是对于所有 (i, j \in N) 且 (i \neq j)，有 (A_i \cap A_j = \varnothing)。

通常会定义一个所谓的概率空间 (\Omega(S, M, P))，它是一个三元组，由样本空间 (S)、可能事件的集合 (M) 以及作为返回 (M) 中元素概率的函数的概率测度 (P) 组成。

2. 条件概率

条件概率是概率论中一个非常重要的概念。在实际场景中，我们常常会有关于某个过程的特定信息，并希望利用这些信息。

设事件 (A) 和 (B)，假设已知事件 (B) 已经发生，此时事件 (A) 发生的概率称为条件概率，记为 (P(A|B))。其计算公式为：
[
P(A|B) =
\begin{cases}
\frac{P(A \cap B)}{P(B