13、控制与系统工程领域的数学工具

控制与系统工程领域的数学工具

在控制与系统工程领域，系统的特性会随时间发生变化。若系统参数随时间改变，该系统则为 时变系统。对于线性时变系统，其参数是时间 $t$ 的函数，由此产生的方程被称为变系数线性常微分方程。

1. 时域与频域处理系统

在时域中处理由微分方程描述的系统以及推导其脉冲响应函数（IRF）颇具难度，特别是在控制理论中常见的复杂系统结构下。因此，通常会将系统描述转换到频域进行处理，常用的方法是傅里叶变换或拉普拉斯变换，在控制理论中多采用拉普拉斯变换。

• 拉普拉斯变换 ：若系统是因果的，其 IRF 的拉普拉斯变换必定存在，且系统不要求稳定。
• 傅里叶变换 ：系统稳定是傅里叶变换存在的充分条件，系统不要求是因果的，所以傅里叶变换在信息技术领域更为重要。

在频域中，有多种工具可用于控制理论领域的典型任务，如稳定性研究或控制器设计，特别是对于线性时不变（LTI）系统。自 20 世纪 40 年代以来，在频域中解决控制任务被视为控制理论领域的经典方法。不过，自 20 世纪 60 年代起，基于匈牙利 - 美国数学家鲁道夫·E·卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）的工作，状态空间描述成为了一种重要的替代方法。这两种技术至今仍被广泛应用，因为它们在具体应用场景中各有优势。

2. 状态空间表示法

2.1 引入的必要性及与频域方法的比较

对于单输入单输出（SISO）系统，经典的控制理论问题解决方法是对系统描述进行拉普拉斯变换，然后在频域中求解。在频域中解决 SISO 系统问