cf-1725 M. Moving Both Hands（反图+dij）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/laysan/article/details/126745652

本文介绍了一种解决带权有向图中两点相遇的最短路径问题的方法，通过构建原图与反向图的组合，利用两点的移动性质找到相遇点的最短权值路径。核心算法是使用Dijkstra算法在第二层反向图中寻找路径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定一张带权有向图，已确定点 $s$ 在 $1$ 号点上，现图上还有另一点 $t$ ，两点均可在该图上沿有向边移动。求 $t$ 分别等于 $[2, n]$ 时使得两点相遇的最小权值之和，无法相遇时输出 $- 1$ 。

智慧建图：第一层为原图，第二层为原图的反向图，两层中的对应点之间连一条权值为 $0$ 的边，最终答案为由第一层的 $1$ 号点到第二层的第 $i$ 点间的最短路。

原理：由于两点均可移动，设两点相遇的中间点为 $p$ ，则在原图中一定有 $s - > p$ 和 $t - > p$ 的路径存在，此时在第二层中建反向图，可以将 $t - > p$ 转化为 $p - > t$ ，相当于直接由点 $s$ 为起点跑单源点最短路。而两层中对应点间权值为 $0$ 的边，表示当前点为相遇点。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
#define itn int
#define int long long
#define endl "\n"
#define PII pair<int, int>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
const itn inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 998244353;
vector<PII> G[N];

struct node {
    int u;
    long long d;
    bool operator<(const node& t) const { return d > t.d; }
};

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    while (m--) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].emplace_back(v, w);
        G[v + n].emplace_back(u + n, w);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        G[i].emplace_back(i + n, 0);

    priority_queue<node> q;
    int dis[N];
    bool vis[N];
    for (int i = 1; i <= n << 1; i++)
        dis[i] = 1e18;
    q.push({1, dis[1] = 0});

    // dij
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().u;
        q.pop();
        if (vis[u])
            continue;
        vis[u] = 1;
        for (auto now : G[u]) {
            int v = now.first, w = now.second;
            if (dis[v] > dis[u] + w)
                q.push({v, dis[v] = dis[u] + w});
        }
    }

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (dis[i + n] == 1e18)
            cout << "-1 ";
        else
            cout << dis[i + n] << " ";
    }
    cout << endl;
}

signed main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(12);
    // init();
    int T = 1;
    // cin >> T;
    for (int i = 1; i <= T; i++) {
        // cout << "Case #" << i << ": ";
        solve();
    }
    return 0;
}