68、量子统计力学中的奇妙现象与前沿猜想

量子统计力学中的奇妙现象与前沿猜想

1. 固体中的俄歇谱线形状

在固体物理研究中，涉及简并连续区和简并局域态的安德森模型扩展得到了广泛研究。特别是简并安德森模型，它被用于模拟固体的俄歇芯 - 价 - 价谱。在俄歇过程中，芯能级的一个空穴衰变，使系统在价带产生两个空穴和一个俄歇电子，通过检测俄歇电子的能量分布，可以了解固体中终态空穴及其相互作用，这种相互作用源于价带中的屏蔽相互作用。

实验发现，一些俄歇谱较宽，类似于价带态密度的自卷积，而另一些则类似准原子谱。安德森模型和哈伯德模型能很好地描述这种情况，这是由于量子力学效应。当两个空穴之间的排斥力很强，使它们处于双空穴连续区之外时，排斥力会使它们结合在一起。在处理俄歇谱时，必须考虑相对论效应和原子物理的一些复杂情况。经过多次修改的哈伯德模型在磁学和超导性方面得到了广泛研究。

2. 费米 - 狄拉克统计与简并压力

费米分布在绝对零度时是一个尖锐的阶跃函数，随着温度 (k_BT) 的升高，阶跃逐渐变得平缓。化学势 (\mu) 对应着二分之一的占据率。当 (k_BT > \mu) 时，许多电子处于分布的指数尾部，费米气体类似于经典气体。在正常条件下，金属中的费米气体阶跃尖锐，处于简并状态，其状态方程与经典气体截然不同。

对于固定的粒子数 (N)，费米气体的总能量 (E_{tot}) 与体积 (V) 的关系为：
[E_{tot} = \frac{\hbar^2}{10\pi^2m}(3\pi^2N)^{\frac{5}{3}}V^{-\frac{2}{3}} = \eta V^{-\frac{2}{3}}]
其中 (\eta = \frac{\hbar^2}{10\pi^