55、费米子的多体矩阵元与二次量子化

费米子的多体矩阵元与二次量子化

1. 多体矩阵元 - 费米子情况

对于 $N$ 个独立电子，哈密顿量 $H = \sum_{i=1}^{N} h(i)$，其中 $h$ 是单粒子算符。薛定谔方程 $H\Psi = E\Psi$ 可分离求解，可通过单粒子正交归一自旋子解 $h(i)\psi_{\mu}(i) = \epsilon_{\mu}\psi_{\mu}(i)$ 来解决。但单电子解的乘积虽能解薛定谔方程，却因泡利原理不能接受。我们通过设置 $\Psi (1, 2, \cdots, N) = \hat{A}\prod_{i=1}^{N} \psi_{\mu(i)}(i)$ 来求解，其中 $E = \sum_{\mu} \epsilon(\mu)$，$\hat{A}$ 是反对称化算符，将乘积转换为斯莱特行列式。为归一化波函数，需将 $N$ 电子反对称化乘积乘以 $\frac{1}{\sqrt{N!}}$。所有 $N$ 电子态必须是由自旋轨道构成的斯莱特行列式的归一化线性组合。

对于三个非相互作用电子，总哈密顿量 $H = h(a) + h(b) + h(c)$ 能量为 $E_{abc} = \epsilon_a + \epsilon_b + \epsilon_c$ 的归一化本征函数可表示为：
$\Phi_{a,b,c}(1, 2, 3) = |\psi_a\psi_b\psi_c| = \frac{1}{\sqrt{3!}} \det\begin{pmatrix}
\psi_a(1) & \psi_a(2) & \psi_a(3) \
\psi_b(1) & \psi_b(2) & \psi_b(3) \
\psi_c(1) &a