37、量子力学公设解读

量子力学公设解读

1. 量子力学公设一

量子力学的公理化表述通常由约翰·冯·诺伊曼提出的一组四个公设组成，每个公设的物理意义都需要深入细致的探究。第一个公设指出，任何系统的状态都由一个复波函数 $\Psi_a(x, t)$ 表示。其中，$x$ 代表所有坐标的集合，$t$ 表示时间，$a$ 是一组（可能为空）运动常数，即所谓的量子数。如果 $a$ 是一组相互兼容的可观测量，那么量子态就被唯一确定。

1.1 波函数

这里所指的系统可以是一个粒子、一个原子，甚至是宏观的超导体或中子星（此时 $x$ 代表非常大的坐标集合），因此这个表述非常强大且具有普遍性。任何可能实验所能获取的所有信息都包含在 $\Psi_a(x, t)$ 中。波函数必须进行归一化，使得概率之和为 1。对于单自由度的波函数 $\Psi_a(x, t)$，归一化条件为 $\int |\Psi (x, t)|^2dx = 1$，一般情况下，需要对所有变量的模平方进行积分。

波函数是复数，所以 $\Psi (x, t) = |\Psi (x, t)|e^{i\varphi(x,t)}$，其中 $\varphi(x, t)$ 是相位。可以通过一个常数相位因子改变 $\varphi(x, t)$（例如，将 $\Psi (x, t)$ 乘以虚数单位 $i$），但物理状态保持不变。不过，两个波函数之间的相位差非常重要，因为波函数会发生干涉。相位可以通过多种方式改变（如旋转、伽利略变换和规范变换），并以非平凡的方式带来物理信息（如通过贝里相位）。

给定系统的所有可能波函数构成一个复向量空间。所有表示同一系统不同状态的波函数的线性组合 $\Phi = \alpha\Psi + \beta\ch