51、线性代数的高效轮次次线性零知识论证

线性代数的高效轮次次线性零知识论证

1. 引言

交互式零知识论证的轮次复杂度与通信和计算复杂度一样，是一个重要的衡量指标。在计算机网络中，实体之间的交互消耗的时间最多，因此降低协议的轮次复杂度至关重要，许多研究都在尝试设计高效轮次的协议。

为了优化轮次复杂度，交互式零知识论证通常可以使用Fiat - Shamir启发式方法转换为非交互式零知识论证，即证明者使用密码哈希函数来计算验证者的挑战。为了证明这种非交互式零知识论证的可靠性，需要假设所谓的随机预言机模型，将密码哈希函数视为随机预言机。最近，也有不依赖随机预言机模型的非交互式零知识论证被提出，但它们需要准线性大小的通信开销或双线性群中的非标准假设。

Groth提出了用于线性代数的次线性大小的交互式零知识论证，它们实现了次线性通信大小，并且比上述非交互式零知识论证需要更少的假设，仅需要离散对数假设和公共参考字符串。不过，Groth方法产生次线性大小零知识论证的同时，需要额外的轮次。我们认为对于涉及线性代数的陈述，这些额外轮次并非必要，因此尝试获得线性代数关系的高效轮次次线性零知识论证。

1.1 主要贡献

获得线性代数关系的高效轮次次线性零知识论证的方法包括两个步骤：
- 步骤一 ：将线性代数的论证简化为使用两种不同类型双线性映射的两种方程。一种双线性映射定义为从 $F^n_p \times Mat_{n\times n}(F_p)$ 到 $F^n_p$，另一种从 $F^n_p \times F^n_p$ 到 $F^n_p$。与Groth将所有论证简化为一种双线性方程不同，我们为每种类型的双线性方程构造特定的短轮次零知识论证，从而比Grot