25、两方非勾结的次线性安全比较协议

两方非勾结的次线性安全比较协议

1. 复杂度初步分析

在被动安全场景下，当 $M$ 为素数，或者 $M$ 是两个模 4 同余于 3 的素数之积时，并行执行 $\kappa$ 份特定操作（如执行图 2 中的操作），并进行 $\kappa$ 元扇入与操作，需要 $O(\kappa)$ 个 ABB 操作，且这些操作可在 $O(1)$ 轮内完成。在其他情况下，即无法高效验证雅可比符号时，算术复杂度会增加一个因子 $k$。为简便起见，可将其纳入 $\kappa$ 中，比如令 $k = \sqrt{\kappa}$ ，不过严格来说应分开处理。

2. 对数轮协议

• 协议思路 ：该协议基于算术黑盒（包含相等性测试等扩展功能）。其整体策略与许多先前解决方案类似，即将问题转化为对“已知”值的比较，并确定它们最显著的不同位位置，以此得出结果。从直观层面看，该方法类似二分查找，但严格来说并非如此。
• 协议假设 ：为简化，假设 $\ell$ 是 2 的幂次方，可通过将 $x$ 和 $y$ 视为更大（但小于两倍）的数来确保这一点。同时，假设算术黑盒的模数 $M$ 远大于输入大小，即 $M\gg 2^{\ell+\kappa’}$ ，其中 $\kappa’$ 为安全参数。
• 正确性分析 ：
  • 首先使用算术黑盒计算 $[z]$ ，因为 $x \geq y \Leftrightarrow z \geq 2^{\ell}$ ，若 $[z_{\ell}]$ 确实是 $z$ 的第 $\ell$ 位的加密，则结果正确。当