17、特征三超奇异曲线上的标量乘法优化

特征三超奇异曲线上的标量乘法优化

1. 坐标系统介绍

在椭圆曲线的计算中，不同的坐标系统对运算效率有着显著的影响。这里主要介绍两种坐标系统：Jacobian 坐标和修改后的 Jacobian 坐标。

1.1 Jacobian 坐标

在特征为三的曲线背景下，Jacobian 坐标被引入。在该坐标系统中，仿射点 $(x, y)$ 表示为 $\langle X:Y :Z\rangle$，其中 $x = X/Z^2$ 且 $y = Y/Z^3$。

计算 $(1 + \mu\tau)$ 在 Jacobian 坐标下的操作序列如下：
| 操作 | 成本 | 备注 |
| — | — | — |
| $A \leftarrow X^3 - XZ^4$ | $2 M + 2 C$ | 保存 $Z^4$ |
| $B \leftarrow A^3$ | $1 C$ | |
| $Z_3 \leftarrow (ZA)^3$ | $1 M + 1 C$ | 保存 $ZA$ |
| $Y_3 \leftarrow Y B - (Y Z^4)^3$ | $2 M + 1 C$ | 保存 $Y Z^4$ |
| $X_3 \leftarrow (X + \mu Z^2)A^2 - (Y Z^4)^2 $ | $5 M$ | |
| 总成本 | $10 M + 5 C$ | |

1.2 修改后的 Jacobian 坐标

由 Kim 和 Negre 引入的修改后的 Jacobian 坐标，仿射点 $(x, y)$