5、深入理解Petri网：原理、类型与应用

深入理解Petri网：原理、类型与应用

1. 引言

1962年，Carl Adam Petri在其博士论文中提出了一种全新的语义模型，后被命名为Petri网。Petri网是对自动机和转换系统的推广，其基本思想是将系统的全局状态描述为局部状态的集合，转换仅作用于局部状态的子集。

在Petri网术语中，局部状态称为“位置（place）”，用圆圈表示；全局状态称为“标识（marking）”，是局部状态的多重集，位置中的标记（token）数量代表该局部状态的副本数；转换用小方块表示，连接参与局部操作的位置。传统上，位置被视为资源类型，标记表示资源实例数量，转换代表消耗和产生资源的活动。从进程代数的角度看，位置代表顺序进程类型，标记表示进程实例数量，转换代表进程间同步交互的演化。

Petri网有多种类型，如条件/事件系统、基本网系统、自由选择网和带抑制弧的网等。本文主要关注有限位置/转换Petri网（有限P/T网），这类网的位置可容纳无界数量的标记，标记不可区分，转换可消耗或产生多个标记。

2. 位置/转换Petri网

2.1 多重集的定义与操作

为了更好地定义P/T网，先引入多重集的概念。设N为自然数集，给定可数集S，S上的有限多重集m是一个函数m : S → N，其支撑集dom(m) = {s ∈ S | m(s) ≠ 0}是有限的。所有有限多重集的集合记为Mfin(S)。

多重集的操作包括：
- 多重集并（⊕）：(m ⊕ m′)(s) = m(s) + m′(s)，满足交换律、结合律，空多重集是其单位元。
- 多重集差（⊖）：若m2 ⊆ m1，则(m1 ⊖ m2)(s) = m