17、物理启发的水文建模中的AI应用

物理启发的水文建模中的AI应用

1. 数值优化基础

在数值优化中，通常存在一个较好的最小值。在某些情况下，需要对容差进行调整，如果设置得过低，可能会导致结果发散。有一个“网络”对一个函数进行编码，标准的牛顿迭代法很难使该函数收敛到全局最小值。作为练习，你可以尝试不同的初始值 x_init ，并确定其相对于实际导数（如果有能力，还可以考虑二阶导数）何时收敛。这个函数能让你很好地了解一维情况下数值优化的一些困难。不过，大多数时候它都能正常工作，所以我们可以暂时忽略这些问题。

2. 数值求解常微分方程（ODE）

现在，我们要将机器学习方法与水文建模方法相结合。首先从最简单的方法入手，介绍线性水库模型，用已有的工具实现它，并展示如何轻松求解。

2.1 线性水库模型

线性水库模型是水文学家喜爱的模型，它可以很容易地进行解析求解。无入流的线性水库模型方程为：
[
\frac{dS}{dt} = k \cdot S(t)
]
其中，(S(t)) 是时间 (t) 时水库的蓄水量，(k) 是水库传导系数，单位为 (1/t)。对于固定的 (k) 值，该方程的解析解为指数函数：
[
S(t) = S(0) \cdot e^{k \cdot t}
]
这里 (S(0)) 是初始蓄水量。你可以验证这个方程满足原微分方程。当 (k) 为正时，蓄水量呈指数增长；当 (k) 为负时，蓄水量呈指数衰减。从物理直觉来看，在水文相关的水库中，(k) 值应为负，因为水会流出。

为了求解这个方程，我们选择 (k = -0.1) 和 (S(0) =