3、电气工程仿真中的数值拉普拉斯逆变换

电气工程仿真中的数值拉普拉斯逆变换

1. 引言

数值拉普拉斯逆变换（NILT）方法在各个科学领域广泛应用，特别是用于求解相应的微分方程。在电气工程领域，目前已经考虑了许多不同的方法，但大多是针对单变量（1D NILT）。相比之下，多维变量（nD NILT）方法受到的关注较少，不过它对于更复杂的电磁系统很有用。2D NILT方法可用于传输线分析，而nD NILT方法（n ≥ 2）可用于非线性电路分析。本文聚焦于基于复傅里叶级数逼近的NILT方法，对其进行误差分析，用Matlab语言开发有效的算法，并展示这些算法在电气工程领域的应用。

2. 多维数值拉普拉斯逆变换

2.1 多维拉普拉斯变换定义

一个实函数 (f(t)) 的 (n) 维拉普拉斯变换定义为：
[
F(s) = \int_{0}^{\infty}\cdots\int_{0}^{\infty} f(t) \exp(-s^T t) dt_1\cdots dt_n
]
其中 (s = (s_1,\cdots,s_n))，(T) 表示转置。在一定假设下，原函数由 (n) 重Bromwich积分给出：
[
f(t) = \frac{1}{(2\pi j)^n} \int_{c_1 - j\infty}^{c_1 + j\infty}\cdots\int_{c_n - j\infty}^{c_n + j\infty} F(s) \exp(s^T t) ds_1\cdots ds_n
]

2.2 复傅里叶级数逼近和极限相对误差

将 (s_i = c_i + j\omega_i) 代入上述积分，并使用矩形积分规则，得到