DSO之光度标定

之前一直没看DSO1，前阵子对应光度模型的论文和代码研究了一下，做了简单的总结。

1. 相机光度模型（Photometric Model）

在光度标定的论文2中，作者给出光度模型如下：

$$I(\mathbf x) = G(tV(\mathbf x)B(\mathbf x)) \tag{1}$$

这里的$G$为相机的响应函数（response function），$V$为(归一化的)渐晕函数(vignette)，$B$是辐照度图像（irradiance image），$I$是我们从相机获取的图像。在论文中，使用的是非参数化（non-parametric）的求解方式，也就是说我们不是求出函数的表达式，而是得到一个映射表。

2. 相机响应函数标定（Response Calibration）

在标定相机响应函数的时候，作者是将相机固定，逐渐变换相机曝光时间，对一个静止的场景进行采集。也就是说，在这个过程中，相机的辐照度图像$B$是不变的。由于相机的渐晕是相机固有的属性，在标定相机响应函数的时候，把相机的光度模型转换成：

$$I(\mathbf x) = G(tB'(\mathbf x)) \tag{2}$$

这里$B'(\mathbf x) := V(\mathbf x)B(\mathbf x)$。在求响应函数的时候，为了方便起见，作者求的是响应函数的反函数：$U:=G^{-1}$，给定一个图像$I_i$，其对应的曝光时间为$t_i$，假设在$U(I(\mathbf x))$上有一个零均值的高斯噪声，则模型有如下形式：

$$U(I_i(\mathbf x)) = t_iB'(\mathbf x) + n_i, \quad n_i\sim N(0,\sigma_i^2) \tag{3}$$

通过最大似然估计，我们近似给出如下最小二乘的形式：

$$E(U,B')=\sum_i\sum_{\mathbf x\in \Omega}(U(I_i(\mathbf x)) - t_iB'(\mathbf x))^2 \tag{4}$$

第一个求和是对所有（不同曝光时间的）图像，第二个求和是对图像平面上所有的像素点。对上式最小化，通过轮流最小化求解$U$和$B'$得到：

U(k)∗B′(x)∗=argminU(k)E(U,B′)=∑ΩktiB′(x)|Ω