47、向量微积分中的格林定理与旋度散度

向量微积分中的格林定理与旋度散度

1. 格林定理相关内容

格林定理在向量微积分中有着重要的应用，它建立了平面曲线积分与二重积分之间的联系。下面通过多个例子来详细阐述格林定理的应用。

1.1 力场与势函数

设(F(r) = fr/|r|^3)，其中(r = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k})，可以证明(\varphi(r) = -f/|r|)是(F)的势函数，即(\nabla\varphi = F)。这表明(F)是保守力场，其线积分与路径无关。设(P_1 = (x_1, y_1, z_1))和(P_2 = (x_2, y_2, z_2))，则线积分(W = \int_{C} F\cdot d\vec{r} = \varphi(P_2) - \varphi(P_1))。

• 当(f = -(mMG))时，通过具体计算可得(W\approx 1.77\times 10^{32} J)。
• 当(f = \epsilon qQ)时，计算结果为(W\approx 1400 J)。

1.2 曲线积分的计算

对于不同的曲线(C)和向量场(F)，可以通过参数方程法和格林定理两种方法来计算曲线积分。

曲线与向量场	参数方程法计算过程	格林定理计算过程
(C)：(x = 2\cos t)，(y = 2\sin t)，(0\leq t\le