53、非齐次线性方程与二阶微分方程的应用

非齐次线性方程与二阶微分方程的应用

1. 非齐次线性方程的求解

1.1 基本概念与方法

非齐次线性方程的一般形式为 (ay’’ + by’ + cy = g(x))，其通解由两部分组成：(y(x)=y_c(x)+y_p(x))，其中 (y_c(x)) 是对应的齐次方程 (ay’’ + by’ + cy = 0) 的通解，(y_p(x)) 是非齐次方程的一个特解。

求解齐次方程的通解，通常先写出其辅助方程 (au^2 + bu + c = 0)，根据辅助方程的根的情况来确定 (y_c(x)) 的形式：
- 若辅助方程有两个不同的实根 (u_1) 和 (u_2)，则 (y_c(x)=C_1e^{u_1x}+C_2e^{u_2x})。
- 若辅助方程有两个相同的实根 (u_1 = u_2 = u)，则 (y_c(x)=(C_1 + C_2x)e^{ux})。
- 若辅助方程有一对共轭复根 (u=\alpha\pm\beta i)，则 (y_c(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x))。

求特解 (y_p(x)) 时，需要根据 (g(x)) 的形式来设出 (y_p(x)) 的形式，然后代入原非齐次方程，通过比较系数来确定特解中的常数。

1.2 具体示例

示例 1

对于方程 (y’’ - 2y’ - 3y=\cos2x)：
- 辅助方程为 (u^2 - 2u - 3 = 0)，因式分解得 ((u - 3)(u + 1)=0)，解得 (u = 3) 和 (u=-1)，所以 (y_c(x)=C_1e^{3x