46、线积分基本定理详解

线积分基本定理详解

一、线积分的基本计算

1. 向量与路径积分关系

设(\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle)，(\mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle)，则：
(\int_{C}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\langle v_1,v_2,v_3\rangle\cdot\langle x^\prime(t),y^\prime(t),z^\prime(t)\rangle dt=\int_{a}^{b}[v_1x^\prime(t)+v_2y^\prime(t)+v_3z^\prime(t)]dt)
(=[v_1x(t)+v_2y(t)+v_3z(t)]_{a}^{b}=[v_1x(b)+v_2y(b)+v_3z(b)] - [v_1x(a)+v_2y(a)+v_3z(a)])
(=v_1[x(b)-x(a)] + v_2[y(b)-y(a)] + v_3[z(b)-z(a)])
(=\langle v_1,v_2,v_3\rangle\cdot\langle x(b)-x(a),y(b)-y(a),z(b)-z(a)\rangle=\mathbf{v}\cdot[\mathbf{r}(b)-\mathbf{r}(a)])

若(\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle)，则：
(\int_{C}\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\langle x(t),y(t),z(t)\rangle\cdot\lang