15、数学中的向量、积分、空间与矩阵知识详解

数学中的向量、积分、空间与矩阵知识详解

1. 椭圆曲率问题

1.1 问题提出

已知椭圆的参数方程，需要求出椭圆曲率关于参数 (t) 的函数。同时，要找出曲率取最小值和最大值的点，分析在这些点处速度的情况，以及地球在绕太阳轨道上经过这些点的日期。

1.2 相关概念

在解决椭圆曲率问题之前，需要先了解一些基本概念。曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于椭圆这样的曲线，其曲率会随着位置的变化而改变。

2. 线积分

2.1 线积分的定义

在物理学中，如果一个力 (\vec{F}) 作用在一个粒子上，使粒子产生一个无穷小的位移 (\Delta\vec{l})，那么力对粒子所做的无穷小功 (\Delta W) 就是力与位移的标量积，即 (\Delta W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{l})。

当粒子沿着平面上的曲线 (C) 移动时，为了计算力所做的总功，需要引入线积分的概念。假设曲线 (C) 由参数方程 (x(t)) 和 (y(t)) 描述，力场 (\vec{F}) 表示为 (\vec{F} = P(x,y)\vec{e}_x + Q(x,y)\vec{e}_y)，位移元素 (\Delta\vec{l} = \Delta x\vec{e}_x + \Delta y\vec{e}_y)，则无穷小功元素 (\Delta W) 可以写成 (\Delta W = P\Delta x + Q\Delta y)。

如果曲线用参数 (t) 表示，那么 (\Delta W) 可以写成关于 (t) 的函数：
(\Delta W = \left(P