3、复变函数积分与级数展开详解

复变函数积分与级数展开详解

1. 复变函数积分基础

在复变函数中，引入极坐标可以帮助我们更好地处理积分问题。当令 (z - a = re^{\theta i}) 且 (dz = ire^{\theta i}d\theta) 时，对积分 (\oint_{C} \frac{dz}{z - a}) 进行计算：
[
\oint_{C} \frac{dz}{z - a} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ire^{\theta i}}{re^{\theta i}} d\theta = i\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi i
]
这里需要注意的是，被积函数在 (z = a) 处无定义。而且，这个积分结果与圆的大小无关。这表明在进行闭合曲线积分时，函数在曲线内部的行为比闭合曲线的具体形状更为重要。

以下是一些相关的练习题：
1. 计算沿逆时针方向绕 (|z| = 1) 圆的 (\oint_{C} (z^ )^2 dz)。
2. 计算沿逆时针方向绕顶点为 ((0,0))，((1,0))，((1,1)) 和 ((0,1)) 的正方形的 (\oint_{C} |z|^2 dz)。
3. 计算沿 (|z| = 1) 圆右半部分从 (z = -i) 到 (z = i) 的 (\int_{C} |z| dz)。
4. 计算沿直线 (y = x) 从 ((-1, -1)) 到 ((1, 1)) 的 (\int_{C} e^z dz)。
5. 计算沿曲线 (y = x^2) 从 ((0, 0)) 到 ((1, 1)) 的 (\int_{C} (z^ )^2 dz)。