32、基于低空间复杂度的 Charlier 多项式表示的二元域多项式乘法

基于低空间复杂度的 Charlier 多项式表示的二元域多项式乘法

1. 引言

有限域在编码理论、数字信号处理和密码学等领域有着广泛的应用。在密码学应用中，有限域的高效运算至关重要。在实现密码学应用之前，需要做出一些选择，其中有限域元素的表示和不可约（约化）多项式的选择对域运算的效率有着关键影响。这些选择会受到安全考虑、应用平台和特定计算环境的约束。在硬件实现中，效率的衡量标准是“与”（#AND）和“异或”（#XOR）门的数量。

二元扩展域的乘法可以分为两个步骤：在 GF(2) 上进行多项式乘法和在 GF(2ⁿ) 上进行模约化。有限域乘法的复杂度取决于约化多项式中非零项的数量，因此，我们希望使用非零项尽可能少的约化多项式。在二元域上，通常优先使用三项式，如果对应扩展不存在三项式，则使用五项式，因为在 GF(2)[x] 中，除了 x + 1 之外，不存在不可约二项式或四项式。

有限域的表示主要有三种类型：规范（多项式）基、正规基和冗余表示。最近，有人提出了 Dickson 多项式表示，以使用低权重不可约多项式实现高效的二元域乘法。当域中不存在任何类型的最优正规基（ONB）时，Dickson 多项式表示显得很有吸引力，例如 NIST 推荐的二元域 GF(2¹⁶³) 和 GF(2²⁸³)。通过使用 Dickson 多项式表示，可以得到不可约的 Dickson 二项式或三项式。根据基的选择，二元域乘法可以有不同的实现方式。

本文提出了一种新的表示某些有限域 GF(2ⁿ) 的方法，该方法基于 Charlier 多项式。我们将证明，在 Charlier 多项式表示下的乘法可以以亚二次空间复杂度进行。在 Charlier 多项式表示中，可以得到二项式或三项式不可约多项式，当