24、基于粒子动力学原理的点集配准方法研究

基于粒子动力学原理的点集配准方法研究

在三维数据处理等领域，点集配准是一项关键技术。传统的点集配准方法在面对噪声、缺失部分以及结构化异常值等情况时往往表现不佳。本文将介绍一种基于粒子动力学原理的刚性引力方法（GA）以及在此基础上改进的加速引力方法（BH - RGA），并通过一系列实验验证其性能。

1. 刚性引力方法（GA）实验

1.1 实验背景

GA方法通过模拟力场中的刚性粒子系统来实现点集配准。为了验证其性能，进行了多组实验，包括在合成数据、真实数据以及SLAM数据集上的实验。

1.2 合成数据实验

在合成数据实验中，对比了GA、CPD和ICP三种算法在处理高斯噪声和均匀分布噪声时的稳定性。结果表明，三种算法在解决旋转问题时对高斯噪声都具有稳定性，而CPD和GA对均匀分布噪声也表现出较好的稳定性。在50%均匀分布噪声的情况下，GA在平均距离、均方根误差（RMSE）和正确配准数量方面均优于CPD。这是因为GA中距离较远的点贡献更为显著，能够实现更鲁棒的累积补偿。

1.3 真实数据实验

• 人体扫描实验 ：使用人体扫描数据和模板，添加合成的聚类异常值（形成球体）。ICP受直接最近邻的影响，收敛到异常值球体，而GA和CPD在选择合适参数的情况下能够正确完成配准。若参数设置不佳，GA的结果准确性会下降，CPD甚至可能无法解决问题。该实验体现了GA的引力特性，即总质量较高的子空间能够克服异常值的影响。
• 守护狮子扫描实验 ：使用守护狮子的两次扫描数据，其中一个参考模型为处理后的3D模型，另一个是头部区域移除7%连续点的粗略重建模型。在配准过程中，对两个点云进行30倍下采样，并将恢复的变换应用于初始模板。尽管存在异常值和缺失部分，结果仍具有较高的准确性。
• 猎户座星座图像实验 ：从猎户座星座的两张不同图像中获取点集，根据灰度像素强度为每个点设置权重。模板中包含约95%的噪声，包括聚类异常值。GA能够降低对应噪声的较暗点的权重，强调权重较高的星团，成功完成星团的正确对齐。而CPD无法纳入权重信息，即使将噪声权重设置为0.95也会失败。这显示了GA在纳入权重方面相对于CPD的优势。

在这些实验中，参数G取值范围为[6.67·10⁻⁶; 6.67·10⁻⁵]，η取值范围为[0.2; 0.9]，步长Δt固定为1。G和η相互平衡，需要根据配准中涉及点的规模和总质量进行设置。较高的η值可能导致更快的收敛，但也可能阻碍算法找到解决方案。

1.4 SLAM数据集实验

使用来自斯坦福3D场景数据集和CoRBS的RGB - D数据集进行实验。实验目标是验证GA在SLAM系统中进行点云配准的潜力。具体步骤如下：
1. 数据准备 ：将深度图转换为点云，选择不同帧间隔的帧组合。
2. 配准过程 ：对所有点云进行下采样，使其包含2000个点。设置参数G，斯坦福3D场景数据集为1.27·10⁻⁴，CoRBS为8.27·10⁻⁴，η = 0.2，ε = 0.1，固定缩放比例。
3. 结果评估 ：比较配准前后点云之间的云到云距离。结果表明，GA能够显著改善点云之间的云到云距离，证明了其对现实世界点云常见伪影的鲁棒性，显示了在SLAM场景中如场景完成等具有挑战性的实际应用中的潜力。

实验流程如下：

graph TD;
    A[数据准备] --> B[选择帧组合];
    B --> C[下采样点云];
    C --> D[设置参数];
    D --> E[进行配准];
    E --> F[评估云到云距离];

2. GA方法讨论

GA方法在处理大量噪声，特别是均匀分布噪声时表现出较强的鲁棒性，并且具有嵌入先验对应关系和抑制异常值的独特属性。然而，该方法也存在一定的局限性，例如在解决尺度问题时能力有限，需要特殊的参数调整。如果参数设置不佳，模板可能会收缩到一个点。此外，当前实现中，GA通过下采样来处理大的点集。

3. 加速引力方法（BH - RGA）

3.1 方法改进背景

GA方法虽然在一些场景中表现出色，但基于常微分方程（ODE）的解决方案存在对参数选择敏感、收敛速度慢以及收敛前迭代次数多等弱点。为了克服这些局限性，提出了BH - RGA方法。

3.2 方法概述

• 负元素逐元素倒数变换 ：对引力势能（GPE）应用负元素逐元素倒数变换，将能量泛函形式改变为加权平方残差之和，在反转物理的同时保留多重链接粒子动力学的优点，如粒子质量的概念。
• Barnes - Hut（BH）树加速技术 ：引入基于Barnes和Hut思想的BH树，用于高效处理包含数十万个点的大的点集。BH树能够在不限制交互到局部邻域的情况下，通过将单个参考点的贡献累积到集群中，保留全局多重链接的交互性质。
• 新的对齐准则 ：在球坐标系中制定新的对齐准则，根据向量长度和向量之间的角度来提高方法的准确性，特别是在处理缺失数据和点集具有适度结构变化的情况下。

3.3 方法优势

• 高效处理大点数集 ：BH - RGA能够在保持全局交互性质的同时，高效处理大的点集，避免了传统方法将交互限制在局部邻域的问题。
• 接受锚点和颜色信息 ：可以接受锚点和颜色信息，为配准提供更多的约束和信息。
• 超越基线方法 ：通过系统实验证明，BH - RGA在处理不完整、噪声和扰动数据时，在收敛域和准确性方面优于基线方法。

4. 实验验证

设计了一组具有较高复杂度的系统测试，验证BH - RGA在处理部分重叠的点云时的性能，这些点云来自文化遗产和激光雷达测量等实际应用场景。实验结果表明，BH - RGA在这些具有挑战性的场景中表现出色，能够有效提高点集配准的准确性和效率。

综上所述，基于粒子动力学原理的GA和BH - RGA方法在点集配准领域具有显著的优势，特别是在应对复杂的现实世界数据时表现出较高的鲁棒性和准确性。未来可以进一步探索如何利用初始速度和颜色等额外信息，以及在更多实际场景中验证其性能。

以下是BH - RGA方法中涉及的一些关键公式：
- 负元素逐元素倒数变换后的引力势能：
[
\xi^-(E(R,t)) = \sum_{i,j} \frac{1}{Gm_im_j\left\lVert Rx_i + t - y_j\right\rVert^2 + \varepsilon}
]
- 当xj与K个足够远且相互靠近的粒子yk相互作用时的近似公式：
[
\sum_{k = 1}^{K} \frac{m’ jm’_k}{\left\lVert \hat{x}_j - y_k\right\rVert} \approx m’_j\left(\sum {k = 1}^{K} m’_k\right)\frac{1}{\left\lVert \hat{x}_j - \tilde{y}\right\rVert}
]
其中，(\hat{x}_j = Rx_j + t)，(m’_i)和(m’_j)表示逆质量。

通过这些实验和方法改进，为点集配准技术在实际应用中的发展提供了新的思路和解决方案。

基于粒子动力学原理的点集配准方法研究

5. 增强的基于粒子动力学的引力方法细节

5.1 负元素逐元素倒数变换的特性

对引力势能 (E(R,t)) 应用负元素逐元素倒数变换 (\xi^-(E(R,t)))，其表达式为：
[
\xi^-(E(R,t)) = \sum_{i,j} \frac{1}{Gm_im_j\left\lVert Rx_i + t - y_j\right\rVert^2 + \varepsilon}
]
这种变换改变了模拟世界的模型。在逆世界中，两个粒子之间的势能与它们质量的乘积成反比，与两点之间的距离成正比。质量的含义也发生了变化，质量值越小，相互作用越显著。

重要的是，无论是原始的 (E(R,t)) 还是变换后的 (\xi^-(E(R,t)))，两个粒子相距越远，它们之间的引力势能就越高。并且有以下极限情况：
[
\lim_{\left\lVert RY + T\right\rVert_F \to \left\lVert X\right\rVert_F} E(R,t) = -\infty
]
[
\lim_{\left\lVert RY + T\right\rVert_F \to \left\lVert X\right\rVert_F} \xi^-(E(R,t)) = 0
]
这表明 (\xi^-) 变换保留了GA中所假定的最优条件，即当 ({X,Y}) 系统的引力势能局部最小时，仍能实现 (X) 和 (Y) 的最优对齐。

与原始的引力势能表达式相比，(\xi^-(E(R,t))) 具有几个优点。乘法和加法因子 (G) 和 (\varepsilon) 不影响最优配置，并且由于引力坍缩会导致引力势能为零，所以 (\varepsilon) 是多余的。此外，(\xi^-) 变换不会扭曲多重链接的相互作用性质，并且距离的含义得以保留。最后，该式可以通过高斯 - 牛顿算法进行最小化。

5.2 Barnes - Hut树加速技术

我们的主要思路是根据距离对粒子进行聚类，累积它们对引力势能的贡献，从而超越二次计算复杂度。与之前的近似方法不同，我们在近似过程中保留了全局多重链接的性质。

假设 (x_j) 与 (K) 个足够远且相互靠近的粒子 (y_k)（(k \in {1, \cdots, K})）相互作用。设 (\hat{x} j = Rx_j + t)，如果从 (x_j) 到每个 (y_k) 的距离方差低于某个小值 (\zeta)，那么在足够远的位置，空间体积 (V) 中所有元素 (y_k) 对粒子 (x_j) 的总影响可以用一个组合的单个粒子 (\tilde{y}) 的影响来很好地近似。(\tilde{y}) 的质量等于 (y_k) 在 (V) 上的质量积分，其位置等于 (V) 中元素 (y_k) 的质心，即：
[
\sum {k = 1}^{K} \frac{m’ jm’_k}{\left\lVert \hat{x}_j - y_k\right\rVert} \approx m’_j\left(\sum {k = 1}^{K} m’_k\right)\frac{1}{\left\lVert \hat{x}_j - \tilde{y}\right\rVert}
]
其中 (m’_i) 和 (m’_j) 表示逆质量。

构建BH树的步骤 ：
1. 初始化BH树为一个根节点，带有2D空外部节点。
2. 从根节点开始，按照以下规则将新粒子 (p_i) 添加到树中：
- 如果外部节点 (v) 为空，将 (p_i) 添加到 (v) 中，操作完成。
- 如果遇到内部（非空）节点 (v_i)，更新其质心和质量，并递归地更新所有内部节点，直到到达外部节点（无论是已占用还是空的）。
- 如果外部节点 (v’_e) 已被占用，将 (v’_e) 视为内部节点，即引入节点的质心和质量，然后将 (v’_e) 分割成2D区域。分割后，将有一个已占用的外部节点和 (2D - 1) 个空外部节点。根据插入到空或已占用外部节点的规则，将 (p_i) 添加到2D外部节点之一。

为了计算每个 (p_i) 位置的引力势能，我们构建一个联合BH树，将点集 (A \cup B) 作为输入。由于模板点之间不会相互影响，我们将 (B) 中所有点的质量设置为零。这样，我们可以将模板的所有点包含在树中（考虑它们的位置），但在计算 (p_i) 位置的引力势能时，排除它们对其他点的影响。为了获得非零势能，我们将 (p_i)（BH树中的一个叶子节点）的质量设置为其原始值。这个质量不会影响作用在 (p_i) 上的力，因为 (p_i) 不会与包含它的任何集群相互作用，并且BH树不需要更新。计算完势能后，我们再次将 (p_i) 的质量设置为零，以避免模板点之间的相互作用。

使用BH树计算引力势能的步骤 ：
从根节点开始遍历BH树，计算 (p_i) 位置的势能，只需要一个参数——距离阈值 (\gamma)。该阈值决定是结束对当前内部节点的进一步遍历（此时 (v_i) 通过集体势能对引力势能做出贡献），还是必须访问 (v_i) 的所有子单元，直到到达足够远的内部节点或叶子节点。

如果 (A) 和 (B) 包含重复的点，BH树的细分将无限进行下去。在实践中，为了避免无限分割，会限制BH树的深度。节点越早用于力的评估，累积的贡献就越高。

实验中观察到的聚类情况如下表所示：
| 实验情况 | 聚类描述 |
| ---- | ---- |
| 开始时 | 呈现出初始的聚类配置 |
| 所有七次迭代叠加 | 展示了不同迭代过程中的聚类变化 |
| 第一次迭代，单个模板点和不同 (\gamma) 值 | 不同 (\gamma) 值下的聚类配置不同，颜色编码表示集群的质量范围 |

实验流程如下：

graph TD;
    A[构建联合BH树] --> B[设置模板点质量为零];
    B --> C[设置pi质量为原始值];
    C --> D[遍历BH树计算势能];
    D --> E[设置pi质量为零];

6. 方法总结与展望

基于粒子动力学原理的刚性引力方法（GA）和加速引力方法（BH - RGA）为点集配准提供了有效的解决方案。GA方法在处理大量噪声和异常值时表现出鲁棒性，能够通过不同的点质量嵌入先验对应关系并抑制异常值。然而，它在解决尺度问题和处理大点数集时存在一定的局限性。

BH - RGA方法通过负元素逐元素倒数变换和Barnes - Hut树加速技术，克服了GA方法的一些弱点。它能够高效处理大的点集，同时保留全局多重链接的交互性质。新的对齐准则进一步提高了在处理缺失数据和点集结构变化时的准确性。系统实验表明，BH - RGA在收敛域和准确性方面优于基线方法，适用于处理不完整、噪声和扰动的数据。

未来的研究方向可以包括进一步探索如何利用初始速度和颜色等额外信息，以提高方法的性能。此外，可以在更多实际场景中验证这些方法的有效性，如机器人导航、自动驾驶等领域，为点集配准技术的发展提供更广泛的应用前景。

通过这些基于粒子动力学原理的方法，我们为点集配准领域带来了新的思路和技术，有望在实际应用中发挥重要作用。