信号处理抽取多项滤波的数学推导与仿真

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昨天的《信号处理之插值、抽取与多项滤波》，已经介绍了插值抽取的多项滤率，今天详细介绍多项滤波的数学推导，并附上实战仿真代码。

一、数学变换推导

1. 多相分解的核心思想

将FIR滤波器的系数$h(n)$按相位分组，每组对应输入信号的不同抽样相位。通过分相、滤波、重组，实现与原FIR等效的处理。

2. 数学变换推导

FIR滤波器的系统函数可表示为：
$$H(z)=\sum _{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}$$
其中，$h(n)$为滤波器系数，$N$为阶数。

设分解因子为$M$，则第$k$个子滤波器系数为：
$$h_k(m)=h(k+mM),0\le k<M$$

将FIR滤波器拆分为$M$个并行的子滤波器（即多相分量），每个子滤波器处理信号的特定相位分量，再通过延迟和组合实现等效。目标形式为：

$$H(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{z}^{-k}{H}_k(z^M)$$
其中，$H_k(z^M)$表示第$k$个子滤波器的系统函数。

将$H(z)$按$M$的整数倍延迟展开：
H ( z ) = ∑ n = 0 N − 1 h ( n ) z − n = ∑ k = 0 M − 1 ∑ m = 0 K − 1 h ( k + m M