管中窥豹数字预失真（DPD）

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于 2025-03-10 23:17:55 发布

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分类专栏：算法基础与实现文章标签：算法大数据人工智能信息与通信

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jz_ddk/article/details/146166299

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管中窥豹数字预失真（DPD）

数字预失真在通信领域发挥了巨大的作用，对提高功放效率、改善误码率起了不可忽略的作用，广泛运用与通信、雷达等各种领域。但是对于普通用户，它显得及其高深神秘。今天就用这个短文，管中窥豹，权当科普。

一、数字预失真原理

1.1 非线性失真问题

功率放大器（PA）在无线通信系统中存在非线性特性，当输入信号幅度较大时，会产生：

带内失真（EVM恶化）
带外频谱再生（ACPR指标恶化）
谐波分量

$y_{PA}(n) = \sum_{k=1}^{K} a_k x(n)|x(n)|^{k-1} + e(n)$

1.2 DPD核心思想

通过在PA前级联预失真器，使得整体系统呈现线性特性：
$x_{DPD}(n) = f^{-1}(x(n))$
$y_{PA}(n) = f(x_{DPD}(n)) \approx G\cdot x(n)$

二、Volterra级数

研究预失真就躲不开神奇Volterra级数，其在预失真技术中有着举足轻重的作用。

1. Volterra级数的数学定义

Volterra级数是描述非线性时变系统的泛函级数展开，可视为泰勒级数在时域中的扩展。其核心思想是将系统输出表示为输入信号的多重积分（或离散时间的多重求和），形式为：

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{m_1=0}^{M} \cdots \sum_{m_k=0}^{M} h_k(m_1, \dots, m_k) \prod_{i=1}^{k} x(n - m_i)$

其中：

$h_k(m_1, \dots, m_k)$ ：第 $k$ 阶Volterra核（多维系数），描述系统对 $k$ 阶非线性项的响应。
$M$ ：记忆深度，决定系统依赖过去输入的时间范围。

简化形式（离散时间）

实际应用中常截断到有限阶数 $K$ 和记忆深度 $M$ ：
$h_0 + \sum_{k=1}^{K} \sum_{m_1=0}^{M} \cdots \sum_{m_k=0}^{M} h_k(m_1, \dots, m_k) \prod_{i=1}^{k} x(n - m_i)$

2. Volterra级数与泰勒级数的关键区别

特性	泰勒级数	Volterra级数
适用范围	无记忆非线性系统	含记忆效应的非线性系统
输入依赖	仅当前输入 $x (n)$	当前及历史输入 $x (n - m)$
数学结构	单变量多项式展开	多变量多重求和/积分
参数复杂度	$O (K)$	$\cdot M^K)$ （指数增长）

3.Volterra级数在功放建模中的作用

3.1 功放的非线性与记忆效应

非线性失真：输出信号幅度与输入不成正比，产生谐波和交调失真。
记忆效应：输出不仅依赖当前输入，还与历史输入相关，主要由以下因素引起：
- 电路中的电抗元件（电容/电感）
- 温度漂移
- 电源调制效应

3.2 Volterra模型的优势

联合建模能力：同时捕捉非线性与记忆效应。
物理可解释性：各阶核对应不同非线性阶次的动态响应。
灵活性：通过调整阶数 $K$ 和记忆深度 $M$ 平衡精度与复杂度。

4.Volterra级数在预失真中的应用

4.1 预失真基本原理

构建预失真器 $f^{-1}(\cdot)$ ，使得级联系统满足：
$f^{-1}(x(n)) \rightarrow [PA] \rightarrow G \cdot x(n)$
其中 $G$ 为期望的线性增益。

4.2 基于Volterra的预失真实现步骤

正向建模：通过测量数据辨识PA的Volterra核 ${h_k\}$ 。
逆模型求解：求取预失真器的Volterra核 ${w_k\}$ ，使得：
$w_k \ast h_k \approx \delta(k)$
实时补偿：将输入信号通过预失真器后再送入PA。

4.3 核辨识方法

常用最小二乘法（LS）或递归最小二乘（RLS）：

# 伪代码：Volterra核辨识
def identify_volterra(x, y, K, M):
    # 构建回归矩阵X（包含所有乘积项x(n-m1)x(n-m2)...）
    X = construct_volterra_matrix(x, K, M)
    # 求解最小二乘问题
    h = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]
    return h

5.Volterra模型的简化形式

5.1 对角记忆多项式（常见简化）

仅保留相同延迟项的乘积：
$\sum_{k=1}^{K} \sum_{m=0}^{M} a_{km} x(n-m) |x(n-m)|^{k-1}$
参数复杂度降为 $\cdot M)$ 。

5.2 广义记忆多项式（GMP）

添加交叉记忆项：
$\sum_{k=1}^{K} \sum_{m=0}^{M} a_{km} x(n-m)|x(n-m)|^{k-1} + \sum_{k=2}^{K} \sum_{m=1}^{M} \sum_{l=1}^{L} b_{kml} x(n)|x(n-m)|^{k-1}$

6. Volterra模型的局限性

参数爆炸：三阶全Volterra模型需 $M^3$ 个参数（ $M = 3$ 时需27个系数）。
辨识难度：高阶核需要大量训练数据且对噪声敏感。
实时性挑战：硬件实现时乘加运算量巨大。

7. 应用案例：5G Massive MIMO功放线性化

7.1 场景特点

宽带信号（100MHz+）
高峰均比（PAPR > 10dB）
多通道耦合效应

7.2 Volterra-DPD效果

指标	无DPD	传统MP-DPD	Volterra-DPD
ACLR (dBc)	-28	-45	-52
EVM (%)	8.7	2.1	1.3
计算复杂度	-	1×	3.5×

三、常用数学模型

预失真工程中常用的都是Volterra级数的简化模型，是Volterra级数的特殊形式，但是他们在性能损失较小的情况下，大幅度缩减了计算量，有着相当的实际工程价值。

3.1 无记忆多项式模型

$\sum_{k=1}^{K} a_k x(n)|x(n)|^{k-1}$

$K$ ：非线性阶数
$a_k$ ：多项式系数

3.2 记忆多项式模型（最常用）

$\sum_{m=0}^{M} \sum_{k=1}^{K} a_{mk} x(n-m)|x(n-m)|^{k-1}$

$M$ ：记忆深度
$K$ ：非线性阶数

3.3 广义记忆多项式

$\sum_{m=0}^{M} \sum_{k=1}^{K} a_{mk} x(n-m)|x(n-m)|^{k-1} + \sum_{m=1}^{M} \sum_{k=2}^{K} b_{mk} x(n)|x(n-m)|^{k-1}$

四、仿真

python 仿真代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
Fs = 100e6       # 采样率
N = 8192         # 信号长度
M = 3            # 记忆深度
K = 5            # 非线性阶数
PA_GAIN = 10     # 放大器增益

# 生成输入信号（QPSK调制）
x = np.random.randn(N) + 1j*np.random.randn(N)
x = x/np.max(np.abs(x))  # 归一化

# PA非线性模型（Rapp模型）
def power_amplifier(x_in, p=2):
    return x_in / (1 + (np.abs(x_in)**p))**(1/(2*p))

# DPD参数估计（最小二乘法）
def dpd_identification(u, d, M, K):
    X = np.zeros((len(u)-M, M*K), dtype=complex)
    for m in range(M):
        for k in range(K):
            X[:, m*K + k] = u[M-m-1:-1-m] * np.abs(u[M-m-1:-1-m])**k
    w = np.linalg.lstsq(X, d[M:], rcond=None)[0]
    return w

# 应用DPD预失真
def apply_dpd(x_in, w, M, K):
    x_out = np.zeros_like(x_in)
    for n in range(M, len(x_in)):
        for m in range(M):
            for k in range(K):
                x_out[n] += w[m*K + k] * x_in[n-m] * np.abs(x_in[n-m])**k
    return x_out

# 主仿真流程
pa_out = power_amplifier(x * PA_GAIN)          # PA输出
dpd_coeff = dpd_identification(pa_out, x, M, K) # DPD系数估计
x_dpd = apply_dpd(x, dpd_coeff, M, K)          # 应用预失真
pa_dpd_out = power_amplifier(x_dpd * PA_GAIN)  # PA+DPD输出

# 频谱分析
def plot_spectrum(signal, title):
    f = np.fft.fftfreq(len(signal), 1/Fs)
    idx = np.argsort(f)
    plt.plot(f[idx]/1e6, 20*np.log10(np.abs(np.fft.fft(signal))[idx]))
    plt.title(title)
    plt.xlabel('Frequency (MHz)')
    plt.ylabel('Power (dB)')

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(211)
plot_spectrum(pa_out, 'Without DPD')
plt.subplot(212)
plot_spectrum(pa_dpd_out, 'With DPD')
plt.tight_layout()
plt.show()