[学习] Hilbert变换：从数学原理到物理意义的深度解析与仿真实验（完整实验代码）

Hilbert变换：从数学原理到物理意义的深度解析与仿真实验

Hilbert变换是信号处理领域中一项经典而强大的工具，广泛应用于瞬时频率分析、调制解调、相位提取等场景。本文将从数学原理出发，结合物理意义与实际应用，通过Python仿真实验直观展示其作用，并提供完整代码供读者复现。

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一、数学原理

Hilbert变换的核心是将一个实值信号 $x(t)$ 映射为与其正交的信号 $\hat{x}(t)$，其数学定义为：
x ^ ( t ) = H { x ( t ) } = 1 π ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) t − τ d τ \hat{x}(t) = \mathcal{H}\{x(t)\} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau x^(t)=H{ x(t)}=π1​∫−∞∞​t−τx(τ)​dτ
该积分是Cauchy主值积分，在频域中可等效为对原信号的傅里叶变换乘以因子 $-j\cdot \text{sgn}(f)$（其中 $\text{sgn}(f)$ 是符号函数，$f$ 为频率），再通过逆傅里叶变换得到结果：
X ^ ( f ) = − j ⋅ sgn ( f ) X ( f ) \hat{X}(f) = -j\cdot\text{sgn}(f)X(f)