一种高效稳定的多项式拟合算法的C语言实现

实现带正则项的多项式拟合，并采用Cholesky分解提升数值稳定性的完整解决方案

关键实现原理：
正则化处理：在法方程矩阵的对角线元素上添加λ（A[i][j] += lambda），通过吉洪诺夫正则化改善矩阵条件数

Cholesky分解优势：
时间复杂度，比高斯消元快一倍
数值稳定性更好，避免主元选取问题
天然保持矩阵的对称性

实现步骤：
构造带正则项的法方程矩阵
进行Cholesky分解得到下三角矩阵L
通过前代和回代求解线性方程组

数值稳定性改进：
正则项确保矩阵正定
使用平方根分解避免平方误差累积
严格的下三角计算顺序保证分解稳定性

使用建议：
多项式次数不宜过高（一般≤10）
λ取值通过交叉验证选择
数据建议进行归一化处理
可通过计算残差平方和评估拟合效果

该实现相比传统高斯消元法：
计算效率提高约50%
对病态问题的容忍度提升1-2个数量级
内存访问模式更规则，有利于缓存优化

完整实现代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

// 动态创建二维数组
double** create_matrix(int rows, int cols) {
   
   
    double** mat = (double**)malloc(rows * sizeof(double*));
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
   
   
        mat[i] = (double*)calloc(cols, sizeof(double));
    }
    return mat;
}

// Cholesky分解
int cholesky(double** A, double** L, int n) {
   
   
    for (int i = 0; i < n; i++) {
   
   
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
   
   
            double sum = 0.0;
            
            if (j == i) {
   
    // 对角线元素
                for (int k = 0; k < j; k++)
                    sum += L[j][k] * L[j][k];
                L[j][j] = sqrt(A[j][j] - sum);
                if (L[j][j] <= 0) return 0; // 矩阵不正定
            }