49、Fractran的复杂性与生产率分析

Fractran的复杂性与生产率分析

1. 相关工作概述

在相关研究中，一阶项重写系统（TRSs）不同性质的不可判定性得到了分析。TRSs的标准性质要么是 $\Sigma_0^1$ 完备的，要么是 $\Pi_0^2$ 完备的，而依赖对问题的复杂性本质上是解析的，为 $\Pi_1^1$ 完备。这为后续关于生产率的 $\Pi_1^1$ 和 $\Sigma_1^1$ 完备性结果奠定了基础。

此外，有研究表明流规范的相等性是 $\Pi_0^2$ 完备的，这一结果可作为Fractran程序到流规范转换的推论。还有研究指出正交流规范的生产率是 $\Pi_0^2$ 完备的，后续会进一步强化这一结果，考虑一般的TRSs以及任意评估策略下的生产率。

2. Fractran程序

2.1 Fractran程序的基本定义

Fractran程序的单步计算是一个部分函数。设 $P = \frac{p_1}{q_1}, \cdots, \frac{p_k}{q_k}$ 是一个Fractran程序，部分函数 $f_P : \mathbb{N} \rightharpoonup \mathbb{N}$ 定义为：
[
f_P(n) =
\begin{cases}
n \cdot \frac{p_i}{q_i}, & \text{如果 } \frac{p_i}{q_i} \text{ 是 } P \text{ 中第一个使得 } n \cdot \frac{p_i}{q_i} \in \mathbb{N} \text{ 的分数} \
\text{未定义}, & \text{如果不存在这样的分数}
\