15、布尔子句集与最小不可满足子集的探索

布尔子句集与最小不可满足子集的探索

1. 最小不可满足子集（MUS）的基础概念

在可满足性问题（SAT）中，对于一个不可满足的SAT实例Σ，其最小不可满足子集（MUS）是Σ的一个不可满足子句集，且不能在不恢复其可满足性的情况下进一步缩小。正式定义如下：
- 定义1 ：子句集Γ是Σ的最小不可满足子集（MUS），当且仅当：
1. Γ ⊆ Σ；
2. Γ 不可满足；
3. 对于任意 Δ ⊂ Γ，Δ 可满足。

例如，设Σ = {¬d ∨ e, b ∨ ¬c, ¬d, ¬a ∨ b, a, a ∨ ¬c ∨ ¬e, ¬a ∨ c ∨ d, ¬b}，Σ 不可满足且包含两个MUS，分别是 {a, ¬a ∨ b, ¬b} 和 {b ∨ ¬c, ¬d, a, ¬a ∨ c ∨ d, ¬b}。

根据子句在Σ不可满足性中所起的作用，可将子句分为以下几类：
| 子句类型 | 定义 | 示例（基于上述Σ） |
| ---- | ---- | ---- |
| 必要子句 | 属于Σ的所有MUS的子句，移除任意必要子句可恢复Σ的一致性 | “a” 和 “¬b” |
| 潜在必要子句 | 至少属于Σ的一个MUS但并非所有MUS的子句，移除一个潜在必要子句不能恢复Σ的一致性 | 除 “¬d ∨ e”、“a ∨ ¬c ∨ ¬e”、“a” 和 “¬b” 之外的子句 |
| 非必要子句 | 不属于任何MUS的子句，移除任意组合的非必要子句都不能恢复一致性 | “¬d ∨ e” 和 “a ∨ ¬c ∨ ¬e” |

虽然有许多方法可从Σ中提取一个MUS，但这些方法无法考虑该MU