[NOI2018] 冒泡排序(组合+卡特兰数+dp+树状数组)

洛谷题目传送门

8pts

n!枚举排列，然后判断即可

44pts

首先考虑什么样的序列是符合条件的
题目提示启发我们，可以考虑每个元素的移动
因为总交换次数是要达到下界，所以每一次交换都必须是有益的
考虑如果排列第i个位置是p[i]
若$p[i]=i$,则这位置不能被交换
若$p[i]<i$,则这个数需要往左移动，且不能向右移动
那么不能存在一个j满足，$j>i,p[j]<p[i]$，否则这两个位置一定会交换一次，那么$p[i]$就向相反方向移动了，答案一定会变大，即$i$右边的数都比$p[i]$大
若$p[i]>i$,类似的可以得到i左边的数都比$p[i]$小
且这三个限制和原限制是等价的
直接状压选了那些数字即可
字典序的限制可以类似数位dp去搞
复杂度$O(2^{n}n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6e5+7;
typedef long long LL;
const int mod = 998244353;
int n,a[N];
LL f[1<<20][2];
void solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&a[i]);
	int m=(1<<n);
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0][1]=1;
	for(int s=0;s<m-1;s++)
	{
		int p=0;
		int a1=0,a2=n+1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		if((s>>(i-1))&1)
		{
			p++;
			a1=max(a1,i);
		}
		else a2=min(a2,i);
		p++;
		for(int limit=0;limit<=1;limit++)
		{
			int up=(limit?a[p]:1);
			for(int i=up;i<=n;i++)
			{
				int k=(limit&&(i==up));
				if(!((s>>(i-1))&1))
				{
					if(i>=p)
					{
						if(a1<i)
						f[s+(1<<(i-1))][k]=(f[s+(1<<(i-1))][k]+f[s][limit])%mod;
					}
					else
					{
						if(i<=a2)
						f[s+(1<<(i-1))][k]=(f[s+(1<<(i-1))][k]+f[s][limit])%mod;
					}
				}
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",f[m-1][0]);
}
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}

80pts

一个重要的结论：
不考虑字典序限制
题目所求等价于求有多少个排列，满足排列中不存在长度大于等于3的下降子序列

必要性：

即若该排列合法，则不存在长度大于等于3的下降子序列
若不然，则存在三个数$i,j,k$满足，$i<j<k,p[i]>p[j]>p[k]$
若$j<p[j]$,由上文可知，j左边的数都比j小，与$p[i]>p[i]$矛盾
若$j>p[j]$，则j右边的数都比j大，与$p[j]>p[k]$矛盾
所以矛盾，即原命题成立
充分性

即若不存在$p[i]>p[j]>p[k]$，则性质成立
考虑一次交换，交换了$p[i],p[i+1]$
则由题可知，$p[i]>p[i+1]$
又因为没有长度大于等于3的下降子序列，所以i左边的数都小于$p[i]$
那么就有$p[1\dots \dots i-1]$和$p[i+1]$总共i个数比$p[i]$小，即$p[i]>i$
类似的我们可以得到$p[i+1]<i+1$,那么这次交换对最终排列而言是合法的
所以命题成立
即题目等价于求有多少的排列，满足排列中不存在长度大于等于3的下降子序列

考虑dp
设$dp[i][j]$表示有多少个长度为i的排列，满足第一个元素是j,且不存在长度大于等于3的下降子序列，则由定义知$j\le i$
考虑第二个数填k
若$j<=k$，则加上dp[i-1][k],这里之所以能等于j，而不会重复，是因为虽然整个序列是一个排列，但是每一个子段并不是一个排列，而我们之所以能转移，是因为我们只考虑元素的相对关系，即离散化之后的值，那么长度为i的数列，长度为i-1的数列，离散化之后有值相等是显然可以的
若$1<k<j$，那么一定会存在一个$j,k,1$的不合法，下降子序列，因此贡献为0
若$k==1$
贡献显然并不是$dp[i-1][1]$
首先1~j-1一定是升序排列的，否则就会存在不合法的下降子序列
若不合法，则存在$x<y,j>p[x]>p[y]>1$
考虑一个映射：
把x移到x+1的位置上，特别的让j-1移到1的位置上
则新序列和原序列是一一对应的，即是一个双双射
且新数列中存在$(j-1,p[x]-1,p[y]-1)$的下降子序列
所以若填的k等于1,则等价于不存在以j-1开始的长度为3的下降子序列，即dp[i-1][j-1]
综合三种情况
$dp[i][j]={\sum }_{k=j-1}^{i-1}dp[i-1][k]$

考虑字典序的限制
枚举与给定排列的最长公共前缀i
设前缀最大值为x，满足$p[j]<=x,j>=i$的j的个数为s
那么离散化之后，x就是s
又因为有字典序的限制，所以填的数字应该>p[i]，也就是说，当前位置可以填的最小的数是s+1,最大的是n-i+1,当然是离散化之后的
即答案是
$$Ans=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{k=s+1}^{n-i+1}dp[n-i+1][k]$$
预处理dp值，通过前缀和优化，复杂度$O(n^2)$
因为代码很简单，所以略

100pts

观察到答案实际上若干dp数组的后缀和
设$s(n,m)={\sum }_{i=m}^{n}dp[n][i]$,其中$m\le n$
则
$$s(n,m)=\sum _{i=m+1}^{n}dp[n][i]+dp[n][m]$$
$$=\sum _{i=m+1}^{n}dp[n][i]+\sum _{i=m-1}^{n-1}dp[n-1][i]$$
$$=s(n,m+1)+s(n-1,m-1)$$
考虑组合意义，
在平面直角坐标系上从$(0,0)$走到$(n,m)$每次向下走一步或者向右上走一步的方案数
并且不能超过$y=x$这条线和x轴之下
首先仅通过这两种走法，随便走，不可能越过$y=x$，但有可能越过x轴
因为只有第二种会向右走一步，所以一共有n次第二种操作，也可以得到有n-m次第一种操作
为了让这两种操作相似，不妨把想下，改为向右
则原先走到(n,m)，新的操作就会走到(2n-m,m),因为多向右走了n-m次
即，每次向右上或者右下走一步，走到(2n-m,m)的方案数，且不能超过x轴
这和原问题也是双射
因为不能超过x轴，所以每个前缀里，向上走的次数要大于等于向下走的次数
这就是卡特兰数的变种问题，方案数为$s(n,m)=C_{2n-m}^{n-m}-C_{2n-m}^{n-m-1}$
$$Ans=\sum _{i=1}^{n-1}s(n-i+1,s+1)$$
预处理组合数，用树状数组求s
复杂度$O(n\log n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6e5+7;
typedef long long LL;
const int mod = 998244353;
int c[N];
int n;
void add(int x,int v)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)
	c[i]+=v;
}
int ask(int x)
{
	int res=0;
	for(int i=x;i;i-=i&-i)
	res+=c[i];
	return res;
}
int a[N];
LL fac[N*2],inv[N*2];
LL M = N*2-2;
LL Pow(LL a,LL b)
{
	LL res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int pre[N],suf[N];
int leq[N];
LL C(int n,int m)
{
	if(n<m) return 0;
	return (LL)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
LL S(int n,int m)
{
	return (C(2*n-m,n-m)-C(2*n-m,n-m-1)+mod)%mod;
}
void solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	pre[i]=max(pre[i-1],a[i]);
	suf[n+1]=n+1;
	for(int i=n;i>=1;i--)
	suf[i]=min(suf[i+1],a[i]);
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		add(a[i],1);
		leq[i]=ask(pre[i]);
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	add(a[i],-1);
	int Max=0;
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(Max>suf[i]) break;
		if(leq[i]+1<=n-i+1)
		ans=(ans+S(n-i+1,leq[i]+1))%mod;
		if(a[i]<pre[i]) Max=max(Max,a[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=M;i++)
	fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
	inv[M]=Pow(fac[M],mod-2);
	for(int i=M-1;i>=0;i--)
	inv[i]=(LL)inv[i+1]*(i+1)%mod;
	while(T--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}