jwg2732的专栏

问题引入已知积性函数f(x)f(x)f(x)要求其前nnn项和(n≤1010n\leq 10^{10}n≤1010)其中对于所有质数ppp满足f(p)=a0+a1p+a2p2……f(p)=a_0+a_1p+a_2p^2……f(p)=a0​+a1​p+a2​p2……也就是可以表示成一个低阶多项式且f(pk)f(p^k)f(pk)可以快速计算I定义lst(x)lst(x)lst(x)表示xxx的最小质因子，pkp_kpk​表示第kkk个质数，特别的,p0=1p_0=1p0​=1我们把答案拆成质

欧拉筛思路，记录每个数最小的质因子，使每个数只被筛一次void sieve(){ for(int i=1;i<=n;i++) { if(!v[i]) { v[i]=i; phi[i]=i-1; prime[++tot]=i; } for(int j=1;j<=tot;j++) { if(prime[j]>v[i]||i*prime[j]>n) break; v[i*prime[j]]=prime[j]; phi[i*p

一道更比一道毒瘤[51 nod 1227] 平均最小公倍数其实就是求ans=Ans(b)−Ans(a−1)ans=Ans(b)-Ans(a-1)ans=Ans(b)−Ans(a−1)因此我们只需要求出函数Ans(n)Ans(n)Ans(n)就行了Ans(n)=∑i=1n1i∑j=1ilcm(j,i)Ans(n)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\sum_{j=1}^ilcm(j,i)Ans(n)=i=1∑n​i1​j=1∑i​lcm(j,i)=∑i=1n1i∑j=1ijigcd(j

前置知识：莫比乌斯反演专题(基础篇)杜教筛设f(n)f(n)f(n)为一积性函数求S(n)=∑i=1nf(i)S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)S(n)=∑i=1n​f(i)，n≤1010n\leq 10^{10}n≤1010我们考虑给f(n)f(n)f(n)卷上另一个积性函数f(n)f(n)f(n)再做前缀和∑i=1n∑d∣ig(d)f(id)\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})i=1∑n​d∣i∑​g(d)f(di​)∑d=1ng(d)∑d

51nod 1675 序列变换我们构造两个新的数列A,BA,BA,BAx=abx,Bx=baxA_x=a_{b_x},B_x=b_{a_x}Ax​=abx​​,Bx​=bax​​则题目给的条件等价于gcd(i,j)==1,Ai=Bjgcd(i,j)==1,A_i=B_jgcd(i,j)==1,Ai​=Bj​的i,ji,ji,j个数我们考虑设f(x)f(x)f(x)表示gcd(i,j)==x,Ai=Bjgcd(i,j)==x,A_i=B_jgcd(i,j)==x,Ai​=Bj​的i,ji,ji,j个

0：前置知识线性筛积性函数int mu[N],prime[N],tot=0;int v[N];void sieve(){ mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!v[i]) { v[i]=i; prime[++tot]=i; mu[i]=-1; } for(int j=1;j<=tot;j++) { if(prime[j]>v[i]||i*prime[j]>n) break; v[i*