AtCoder题解 —— AtCoder Beginner Contest 187 —— B - Gentle Pairs —— 暴力

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题目链接

AtCoder Beginner Contest 187 B 题，https://atcoder.jp/contests/abc187/tasks/abc187_b。

Problem Statement

On the $xy$-plane, We have $N$ points numbered $1$ to $N$. Point $i$ is at $(x_i,y_i)$, and the $x$-coordinates of the $N$ points are pairwise different.
Find the number of pairs of integers $(i,j)(i<j)$ that satisfy the following condition:
The line passing through Point $i$ and Point $j$ has a slope between $-1$ and $1$ (inclusive).

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
xi yi
.
.
.
xn yn

Output

Print the answer.

Sample 1

Sample Input 1

3
0 0
1 2
2 1

Sample Output 1

2

Explaination

The slopes of the lines passing through $(0,0)$ and $(1,2)$, passing through $(0,0)$ and $(2,1)$, and passing through $(1,2)$ and $(2,1)$ are $2$, $\frac{1}{2}$, and $-1$, respectively.

Sample 2

Sample Input 2

1
-691 273

Sample Output 2

0

Sample 3

Sample Input 3

10
-31 -35
8 -36
22 64
5 73
-14 8
18 -58
-41 -85
1 -88
-21 -85
-11 82

Sample Output 3

11

Constraints

• All values in input are integers.
• 1 ≤ N ≤ 10^3
• |xi|,|yi| ≤ 10^3
• xi≠xj for i≠j.

题解报告

题目翻译

在 $xy$ 坐标系中，有 $N$ 个点，编号为 $1-N$，第 $i$ 个点的坐标为 $(x_i,y_i)$，这 $N$ 个点的坐标各不相同，并且坐标为整数。
请找出有多少个点对 $(i,j)(i<j)$ 满足以下条件：
1、连接第 $i$ 和 $j$ 点的直线斜率在 $-1$ 和 $1$ 之间。

题目分析

本题是一个数学题，核心就是如何求两个点组成的直线斜率。

直线斜率

假设我们有两个点 $N_i$ 和 $N_j$，满足 $i<j$，对应的坐标为 $(x_i,y_i)$ 和 $(x_j,y_j)$，如下图所示。
如图所示，通过这两个点的直线的斜率为：$\frac{y_j-y_i}{x_j-x_i}$。
因此，本题就是遍历所有可能的两个点组成的直线，计算其斜率，并判断是否符合题目要求。

改进

由于计算斜率我们不可避免会得到一个浮点数，为了优化，我们可以进一步讨论一下数学问题。
满足要求的斜率为：
$$-1\le \frac{y_j-y_i}{x_j-x_i}\le 1\iff |\frac{y_j-y_i}{x_j-x_i}|\le 1\iff |y_j-y_i|\le |x_j-x_i|$$

数据分析

样例数据 1

根据样例数据，我们知道有三个点：$(0,0),(1,2),(2,1)$。因此可以构成三条直线。
第一条直线，通过点 $(0,0)$ 和 点 $(1,2)$。对应的斜率为 $\frac{2-0}{1-0}=2$。
第二条直线，通过点 $(0,0)$ 和 点 $(2,1)$。对应的斜率为 $\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}$。
第三条直线，通过点 $(1,2)$ 和 点 $(2,1)$。对应的斜率为 $\frac{1-2}{2-1}=-1$。
因此，符合要求的直线有两条，分别是第二条和第三条。

数据范围分析

$N$ 的最大值为 $10^3$，因此使用暴力遍历 $O(N^2)$ 可以满足需求。

AC 代码

//https://atcoder.jp/contests/abc187/tasks/abc187_b
//B - Gentle Pairs 
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//如果提交到OJ，不要定义 __LOCAL
//#define __LOCAL

const int MAXN=1e3+4;
int x[MAXN];
int y[MAXN];

int main() {
#ifndef __LOCAL
    //这部分代码需要提交到OJ，本地调试不使用
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#endif
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>x[i]>>y[i];
    }

    //
    int ans=0;
    for (int i=1; i<n; i++) {
        for (int j=i+1; j<=n; j++) {
            if (abs(y[j]-y[i])<=abs(x[j]-x[i])) {
                ans++;
            }
        }
    }

    cout<<ans<<"\n";

#ifdef __LOCAL
    //这部分代码不需要提交到OJ，本地调试使用
    system("pause");
#endif
    return 0;
}

时间复杂度

$O(N^2)$。

空间复杂度

$O(N)$。

和使用浮点数比较代码对比

相同的代码，差距在比较使用浮点数。我们仅仅比对时间。

//https://atcoder.jp/contests/abc187/tasks/abc187_b
//B - Gentle Pairs 
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//如果提交到OJ，不要定义 __LOCAL
//#define __LOCAL

const int MAXN=1e3+4;
int x[MAXN];
int y[MAXN];

int main() {
#ifndef __LOCAL
    //这部分代码需要提交到OJ，本地调试不使用
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#endif
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>x[i]>>y[i];
    }

    //
    int ans=0;
    int yy;
    int xx;
    double slope;
    for (int i=1; i<n; i++) {
        for (int j=i+1; j<=n; j++) {
            yy=y[j]-y[i];
            xx=x[j]-x[i];
            slope=1.0*yy/xx;
            if (slope>=-1 && slope<=1) {
                ans++;
            }
        }
    }

    cout<<ans<<"\n";

#ifdef __LOCAL
    //这部分代码不需要提交到OJ，本地调试使用
    system("pause");
#endif
    return 0;
}

可以明显的看出，相同的代码，使用浮点数比较需要 15ms，而使用定点数比较，只需要 8ms，速度快了一倍。因此尽量少用浮点数比较。