AtCoder题解—— AtCoder Beginner Contest 181 —— C - Collinearity

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该博客围绕AtCoder Beginner Contest 181 C题展开，题目是给定N组坐标，判断是否存在三个不同点共线。题解指出这是数学题，可通过特定公式判断三点共线，因数据范围，用int即可，算法设计采用暴力枚举，虽非最优但简单。

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题目相关

题目链接

AtCoder Beginner Contest 181 C 题，https://atcoder.jp/contests/abc181/tasks/abc181_c。

Problem Statement

We have N points on a two-dimensional infinite coordinate plane.

The ii-th point is at (xi,yi).

Is there a triple of distinct points lying on the same line among the N points?

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
x1 y1
.
.
.
xN yN

Output

If there is a triple of distinct points lying on the same line, print Yes; otherwise, print No.

Samples1

Sample Input 1

Sample Output 1

Yes

Explaination

The three points (0,1),(0,2),(0,3) lie on the line x=0.

Samples2

Sample Input 2

Sample Output 2

No

Samples3

Sample Input 3

Sample Output 3

Yes

Constraints

All values in input are integers.
3≤N≤10^2
|xi|,|yi|≤10^3
If i≠j, (xi,yi)≠(xj,yj).

题解报告

题目翻译

给 N 组坐标，判断这些坐标中，是否存在三个不同点处于同一条直线。如果存在，输出 Yes，否则输出 No。

题目分析

本题是一个数学题，假设我们有三个点，坐标分别为：点 A 为 (x1, y1)、点 B 为 (x2, y2) 和点 C 为 (x3, y3）。

判断三点共线

假设这三个点共线，则 $\left | \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \right |=\left | \frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\right |$ 。这样我们可以变换为 $(y_2-y_1)*(x_3-x_1)= (y_3-y_1)*(x_2-x_1)$ 。

数据范围估计

本题的数据范围为 |xi|,|yi|≤10^3，因此最大的数据也就是 $(10^3-10^{-3})*(10^3-10^{-3})\approx 10^3*10^3=10^6$ ，使用 int 足够。

算法设计

再次强调一下，在算法竞赛中设计算法，需要根据题目的数据规模来设计。

以本题为例，N 的最大值为 10^2，因此完全可以使用暴力枚举来实现，也就是直接枚举是否有三个点，满足条件即可。

这样设计的算法肯定不是最优的，因为时间复杂度为恐怖的 $O(N^3)$ ，但是一定是最简单的算法。

AC 参考代码

//https://atcoder.jp/contests/abc181/tasks/abc181_c
//C - Collinearity
#include <iostream>

using namespace std;

typedef struct _POS {
    int x;
    int y;
} POS;

const int MAXN=1e2+4;
POS arr[MAXN];

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>arr[i].x>>arr[i].y;
    }

    //暴力枚举
    for (int i=1; i<=n-2; i++) {
        for (int j=i+1; j<=n-1; j++) {
            for (int k=j+1; k<=n; k++) {
                if ((arr[k].x-arr[i].x)*(arr[j].y-arr[i].y)==(arr[j].x-arr[i].x)*(arr[k].y-arr[i].y)) {
                    cout<<"Yes\n";
                    return 0;
                }
            }
        }
    }
    cout<<"No\n";

    return 0;
}