C++ 的高精度乘法

最新推荐文章于 2025-03-01 13:12:49 发布

努力的老周

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分类专栏： OI # 高精度运算文章标签：高精高精度乘法高精乘法高精度计算高精计算

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高精度运算

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为什么需要高精度计算

对于 C++ 而言，最大的数据为 long long（64b，8位），对于超过 8B 的数据，C++ 没有对应的数据类型进行表示。所以我们需要知道高精度计算。更详细的解释，可以参考这个网页https://blog.youkuaiyun.com/justidle/article/details/104414459。

高精度乘法计算原理

在读小学时，我们做乘法都采用竖式方法，如图 1 所示。这样，我们可以写出两个整数相减的算法。

我们就可以用 C++ 语言来模拟这个竖式减法的过程。我们可以考虑利用 C++ 的数组来存储对应数据，假设用数组 A 存储被减数 856 的每一位，具体来说就是 A1 存储个位 6，A2 存储十位 5，A3存储百位 8；类似数组 A 的结构，使用数组 B 存储减数 25；类似数组 A 的结构，使用数组 C 来存储对应的乘积 21400。两数相加的结果就如图 2 所示。这样理论上来说，我们就可以计算无限大的数据。如上图 2 所示，下表表示对应的存储方式。

	数组 A	数组 B	数组 C
[0]	6	5	0
[1]	5	2	0
[2]	8		4
[3]			1
[4]			2

如上面的图 2 ，首先计算被乘数与乘数的个位数字的乘积，把结果保存到积数组中，然后再用被除数乘以乘数的十位数字，把结果退一位加到积数组中。每加一次乘积结果就进行一次进位处理，放在一个新组数里面。其方法与加法中的进位处理一样。

$C_{0}=C_{0}^{`} = A_{0}\ast B_{0}\\ C_{1}=C_{1}^{`}+C_{1}^{``} = A_{0}\ast B_{1}+A_{1}\ast B_{0}+JW_{next round}\\ C_{2}=C_{2}^{`}+C_{2}^{``} = A_{2}\ast B_{0}+A_{1}\ast B_{1}+JW_{next round}\\ C_{3}=C_{3}^{`}+C_{3}^{``} = A_{3}\ast B_{0}+A_{2}\ast B_{1}+JW_{next round}\\ \cdots \cdots$

关键点

1、a[i]*b[j] 应该累加到 i+j 的位置；

2、累加总结果为： c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j]；

3、所以每次累加完后：

1）带入下一位累加的进位： jw = c[i+j] / 10；

2）本位实际数： c[i+j] %= 10。

高精度乘法实现

思路

1、定义存储数组。

2、读入数据处理。

3、从个位开始模拟竖式乘法的过程，完成整个乘法。

4、删除前导 0 。所谓前导零，就是出现类似这样数据 01234，这个 0 实际是不需要的。

5、输出结果。倒序输出减法的结果数组 C，因为我们的个位是存储在下标为 0 的地方。

技术细节说明

定义存储数组

根据题目的要求定义数组。这个部分代码如下：

const int MAXN = 1e5+4; //根据题目的最大值。+4为了防止A+B出现进位
char s1[MAXN] = {};//存储字符串
char s2[MAXN] = {};//存储字符串
int a[MAXN] = {};//存储加数A
int b[MAXN] = {};//存储加数B
int c[2*MAXN] = {};//存储乘积

读入数据并处理

这里我们先考虑以下几种情况，即 -3*5=-15 或者 -4*8=-32 或者 -3*(-2)=6，也就是说，需要对输入数据的正负号进行判断。这个部分代码如下：

    scanf("%s %s", s1, s2);//读入字符串

    //处理负数
    bool flaga = false;//乘数a的符号
    if ('-'==s1[0]) {
        flaga = true;
        strcpy(s1, &s1[1]);//删除负号
    }
    bool flagb = false;//乘数b的符号
    if ('-'==s2[0]) {
        flagb = true;
        strcpy(s2, &s2[1]);//删除负号
    }

    //处理输出的负号
    if ((true==flaga && false==flagb) || (false==flaga && true==flagb)) {
        printf("-");
    }

    //处理乘数1
    int lena = strlen(s1);
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        a[lena-i-1]=s1[i]-'0';
    }

    //处理乘数2
    int lenb = strlen(s2);
    for (int i=0; i<lenb; i++) {
        b[lenb-i-1]=s2[i]-'0';
    }

模拟竖式乘法

这个部分代码如下：

    //模拟竖式乘法
    int jw;//上一轮计算进位
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        jw=0;
        for (int j=0; j<lenb; j++) {
            //交叉乘积
            c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j];//当前乘积+上次乘积进位+原数
            jw = c[i+j]/10;//处理进位
            c[i+j] %= 10;
        }
        c[i+lenb]=jw;//进位设置
    }

删除前导零

这个部分代码如下：

    //删除前导零
    int lenc=lena+lenb;
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        //因为我们是从索引 0 开始，所以最高位是保存在 len-1
        if (0==c[i] && lenc>1) {
            //注意要有 lenc>1 这个条件。考虑特殊情况，加法结果为 00，我们实际要输出 0。
            lenc--;
        } else {
            //第一个不是零的最高位，结束删除
            break;
        }
    }

输出计算结果

采用倒序的方式输出，因为我们数据保存是倒序结构，也就是低位在前。

    //逆序打印输出
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    printf("\n");

例题和 AC 代码

题目

题目链接

一本通 OJ：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1174，或者http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1307。

我自己 OJ：http://47.110.135.197/problem.php?id=1034。

题目描述

求两个不超过 200 位的非负整数的积。

输入

有两行，每行是一个不超过 200 位的非负整数，没有多余的前导 0。

输出

一行，即相乘后的结果。结果里不能有多余的前导 0，即如果结果是 342，那么就不能输出为 0342。

样例输入

12345678900
98765432100

样例输出

1219326311126352690000

分析

题目告诉我们不超过 200 位，也就是 MAXN = 200+4。特别的地方要注意乘积的长度为 2*MAXN。

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200+4; //根据题目的最大值。+4为了防止A+B出现进位
char s1[MAXN] = {};//存储字符串
char s2[MAXN] = {};//存储字符串
int a[MAXN] = {};//存储加数A
int b[MAXN] = {};//存储加数B
int c[2*MAXN] = {};//存储和B

int main() {
    scanf("%s %s", s1, s2);//读入字符串

    //处理负数
    bool flaga = false;//乘数a的符号
    if ('-'==s1[0]) {
        flaga = true;
        strcpy(s1, &s1[1]);//删除负号
    }
    bool flagb = false;//乘数b的符号
    if ('-'==s2[0]) {
        flagb = true;
        strcpy(s2, &s2[1]);//删除负号
    }

    //处理输出的负号
    if ((true==flaga && false==flagb) || (false==flaga && true==flagb)) {
        printf("-");
    }

    //处理乘数1
    int lena = strlen(s1);
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        a[lena-i-1]=s1[i]-'0';
    }

    //处理乘数2
    int lenb = strlen(s2);
    for (int i=0; i<lenb; i++) {
        b[lenb-i-1]=s2[i]-'0';
    }
    
    //模拟竖式乘法
    int jw;//上一轮计算进位
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        jw=0;
        for (int j=0; j<lenb; j++) {
            //交叉乘积
            c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j];//当前乘积+上次乘积进位+原数
            jw = c[i+j]/10;//处理进位
            c[i+j] %= 10;
        }
        c[i+lenb]=jw;//进位设置
    }

    //删除前导零
    int lenc=lena+lenb;
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        //因为我们是从索引 0 开始，所以最高位是保存在 len-1
        if (0==c[i] && lenc>1) {
            //注意要有 lenc>1 这个条件。考虑特殊情况，加法结果为 00，我们实际要输出 0。
            lenc--;
        } else {
            //第一个不是零的最高位，结束删除
            break;
        }
    }    
    
    //逆序打印输出
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}