前缀和——（1）什么是前缀和和一维前缀和

什么是前缀和

前缀和（Prefix Sum）的定义为：对于一个给定的数列 A, 它的前缀和数列 S 是通过递推能求出来得   部分和。

例如：

C++实现

//假设数组a和前缀和数组s都已经定义
int i;
//初始条件
a[0] = 0;
s[0] = 0;
for (i=1; i<=n; i++) {
    cin >> a[i];
    s[i] = s[i-1] + a[i];
}

模板题

下面我们用一个模板题，将完整的一维数组前缀和做一个简单的展示。题目链接http://47.110.135.197/problem.php?id=5181。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	
	int data;
	int ans[102] = {};
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		cin >> data;
		ans[i] = ans[i-1] + data;
	}
	
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		cout << ans[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	
	return 0;
}

用途

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。

前缀和是以求和的方式灵活地面对区间询问。

下面我们用一个模板题来说明。

例题：区间求和

给你一串长度为 n 的数列 a1, a2, a3, ..., an，再给出 m 个询问，每次询问给出 L, R 两个数，要求给出区间 [L, R] 里的数的和。

详细可以参看http://47.110.135.197/problem.php?id=5139。

题目分析

题目非常简单，我们也可以得到一个最简单的解法，暴力操作。也就是对应每个询问，我们都从 L 开始到 R 结束对这个区间的数据进行求和。基本的代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5+2;
long long arr[MAXN] = {};

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    int i, j;
    for (i=1; i<=n; i++) {
        cin >> arr[i];
    }

    int m;
    int l, r;
    long long ans = 0;
    cin >> m;
    for (i=0; i<m; i++) {
        cin >> l >> r;

        ans = 0;
        for (j=l; j<=r; j++) {
            ans += arr[j];
        }

        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

代码分析

从上面的代码非常明确的分析出来，代码的时间复杂度为 。也就是说，在比赛中这样的解法能否 AC，那就要看数据的量了。当然我们都知道这样的解法，比赛中是肯定不可能 AC。因此唯一的可能就是降低时间复杂度。方法就是使用前缀和。

我们先看前缀和的数学。数列A中某个下标区间 [l, r] 内的数的和定义为：

从上面推导，我们可以清晰的看出，前缀和和区间和的关系。

代码改进

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5+2;
long long arr[MAXN] = {};
long long sum[MAXN] = {};

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    int i, j;
    for (i=1; i<=n; i++) {
        cin >> arr[i];
        sum[i] = sum[i-1] + arr[i];
    }

    int m;
    int l, r;
    cin >> m;
    for (i=0; i<m; i++) {
        cin >> l >> r;
        cout << sum[r] - sum[l-1] << endl;
    }

    return 0;
}

代码分析

从上面的代码非常明确的分析出来，代码的时间复杂度为 。