25、耦合主成分分析与广义特征对提取算法研究

耦合主成分分析与广义特征对提取算法研究

1. 耦合算法的特征对估计与收敛性分析

在特征对估计方面，若矩阵 $\hat{C} 1$ 有对应特征值 $r_1 > r_2 > \cdots > r_n > 0$ 的特征向量 $w_1, w_2, \cdots, w_n$，那么矩阵 $C_j$ 有对应特征值 $r_j > \cdots > r_n > \hat{r}_1 = \cdots = \hat{r} {j - 1} = 0$ 的特征向量 $w_j, \cdots, w_n, w_1, \cdots, w_{j - 1}$，其中 $r_j$ 是 $C_j$ 的最大特征值。通过在特定公式中用 $\hat{C}_j$ 替换 $\hat{C}$，可用于估计 $\hat{C}$ 的第 $j$ 个主特征对 $(w_j, k_j)$。

对于耦合规则的收敛性分析，主要工作是找到微分方程在驻点 $(w_1, k_1)$ 处的雅可比矩阵的特征值。以 fMCA 规则为例，经过一系列运算得到雅可比矩阵 $J_{fMCA}(w_1, k_1)$，通过正交变换可简化该矩阵。变换后的雅可比矩阵 $J^ _{fMCA}(w_1, k_1)$ 与原矩阵有相同特征值，其特征值 $\alpha$ 由 $\det(J^ - \alpha I) = 0$ 确定。稳定性要求 $\alpha < 0$，由此可知只有次特征对是稳定驻点，其他为鞍点或排斥点。若进一步假设 $k_1 \ll k_j$，所有特征值 $\alpha \approx -1$，系统在所有特征方向上以近似相等的速度收敛，且该速度与协方差矩阵的特征值 $k_j$ 无关，即 fMCA 算法不