8、无边界图片的构造与特性及置换群的有效不变理论

无边界图片的构造与特性及置换群的有效不变理论

无边界图片相关内容

在研究无边界图片时，我们发现Nielsen构造无边界字符串的方法不能直接推广到图片上。这主要是因为该构造基于引理1，而此引理在二维情况下不成立。不过，对于图片我们有一个较弱的结果。

引理8 ：设 $p \in \Sigma_{m,n}$。如果 $p$ 有一个大小为 $(i, j)$ 的边界，其中 $i \geq \lfloor m/2 \rfloor + 1$ 且 $j \geq \lfloor n/2 \rfloor + 1$，那么 $p$ 有一个大小为 $(h, k)$ 的边界，其中 $h \leq \lfloor m/2 \rfloor$ 或 $k \leq \lfloor n/2 \rfloor$。

从直观上来说，引理8表明如果一张图片有一个“大”边界，那么它必然有一个“小”或“中”边界。图片的边界根据其大小可分为三种类型：
- “大”边界：两个维度都大于图片相应维度的一半。
- “小”边界：两个维度都小于图片相应维度的一半。
- “中”边界：只有一个维度大于图片相应维度的一半。

正是这些“中”边界的存在，使得简单的推广变得不可行。

为了构造给定大小为 $(m, n)$ 的所有无边界图片的类 $U(m, n)$，我们引入了准无边界图片的概念，并给出其递归构造方法。无边界图片集 $U(m, n)$ 将从准无边界图片集中提取。

定义9 ：一张图片 $p \in \Sigma_{m,n}$ 是准无边界的，如果 $p$ 在位置 $(i, j)$ 处没有