5、多维单词的代数几何方法

多维单词的代数几何方法

1. 引言

多维无限单词，也称为配置，是一个 $d$ 维无限数组，其中填充着来自（通常是有限的）字母表 $A$ 的符号。对于每个单元格 $v \in Z^d$，我们用 $c_v \in A$ 表示该位置的符号。假设对于某个有限观察窗口 $D \subseteq Z^d$，配置 $c$ 中形状为 $D$ 的不同子模式的数量不超过 $D$ 的基数 $|D|$，我们将研究这种低局部复杂性假设所强制的全局规律和结构。

如果字母表 $A$ 是 $Z$ 的子集（如果 $A$ 是有限的，可以通过重命名符号来实现），就可以对配置进行算术运算，例如两个配置的和是按单元格定义的。主要结果表明，配置 $c$ 可以表示为有限个周期配置 $c_1, \ldots, c_m \in Z(Z^d)$ 的和。这里，一个配置 $e$ 被称为周期的，如果它在某个平移下是不变的，即存在一个非零向量 $u \in Z^d$，使得对于所有的 $v \in Z^d$，都有 $e_v = e_{v+u}$。需要注意的是，分解中的周期分量 $c_i$ 不一定基于任何有限字母表，它们可以包含无限多个不同的整数值。

为了证明这个主要结果，我们将分两步进行：
1. 展示低复杂性假设如何意味着存在一个非平凡的滤波器，将配置 $c$ 归零。滤波操作是 $c$ 与有限掩码的常规卷积，我们可以方便地用多元多项式的乘法来表示。这一步基于基本的线性代数。
2. 分析被非平凡滤波（即与某个非零多项式相乘）所归零的配置。这些归零多项式的集合构成多项式环的一个理想。利用希尔伯特零点定理，我们将证明这个理想包含简单形式的多项式，特别是配置可以被一系列差分滤波器 $(X^v - 1)$ 的乘积归零，这意味着配置