20、量子态中函数编码与搜索技术详解

量子态中函数编码与搜索技术详解

1. 函数输入输出编码

在量子计算中，对函数的输入和输出进行编码是一项关键操作。当我们完成编码后，会得到如特定网格可视化所示的结果。若对该状态进行测量，就能得到由键寄存器和值寄存器表示的键值对。需要注意的是，由于创建电路时寄存器的顺序，二进制结果会是值寄存器紧随键寄存器。

2. 背包问题编码

背包问题是常见的二进制优化问题。假设有三个物品，其价值和重量如下表所示：
| 物品标签 | 价值 | 重量 |
| ---- | ---- | ---- |
| 0 | 2 ($2,000) | 3 |
| 1 | 3 ($3,000) | 2 |
| 2 | 1 ($1,000) | 1 |

我们使用三个寄存器来编码每个可能的物品选择以及每种选择的总重量和总价值。具体而言，用一个包含三个量子比特的寄存器来表示可能的选择，每个物品对应一个量子比特。若物品被选入背包，对应的量子比特值为 1；否则为 0。每种可能的物品组合及其对应的价值和重量如下表：
| 选择 | 价值 | 重量 |
| ---- | ---- | ---- |
| 000 | 0 | 0 |
| 001 | 2 | 3 |
| 010 | 3 | 2 |
| 011 | 5 | 5 |
| 100 | 1 | 1 |
| 101 | 3 | 4 |
| 110 | 4 | 3 |
| 111 | 6 | 6 |

我们可以用二进制变量的线性函数来表示每种选择的价值和重量。下面是编码每个可能选择价值的具体步骤：
1. 创建仅包含选择和价值寄存器的电路，并将它们置于等叠加态：

n_key = 3
n_value = 3
key = QuantumRegister(n_key)
value = QuantumRegister(n_value)
qc = QuantumCircuit(key, value)
for i in range(n_key):
    qc.h(key[i])
for i in range(n_value):
    qc.h(value[i])

2. 用元组列表表示线性函数，其中第一个元素是系数，第二个元素是项中的变量列表（即对应二进制变量的量子比特索引）：

terms = [(2, [0]), (3, [1]), (1, [2])]

3. 使用循环应用受控相位旋转：

for (coeff, vars) in terms:
    for i in range(n_value):
        qc.cp(pi * 2 ** -i * coeff, key[vars[0]], value[i])

4. 对价值寄存器应用逆量子傅里叶变换（IQFT）：

qc.iqft(value[::-1], swap=False)

对于重量函数的编码，同样可以使用类似的方法。首先，用元组列表表示重量函数：

terms = [(3, [0]), (2, [1]), (1, [2])]

然后，使用以下代码进行编码：

n_key = 3
n_weight = 3
key = QuantumRegister(n_key)
weight = QuantumRegister(n_weight)
qc = QuantumCircuit(key, weight)
for i in range(n_key):
    qc.h(key[i])
for i in range(n_weight):
    qc.h(weight[i])
for (coeff, vars) in terms:
    for i in range(n_weight):
        qc.cp(pi * 2 ** -i * coeff, key[vars[0]], weight[i])
qc.iqft(weight[::-1], swap=False)

3. 二进制变量多项式编码

若要编码的函数不是线性函数，例如 (f(k) = k^2 + 2)（其中 (0 \leq k < 2^n)），我们需要将整数变量的多项式函数表示为二进制变量的多项式。以 (n = 2) 为例，整数 (k) 可以表示为：
[k = k_0 + 2k_1]
那么 (k^2) 可以表示为：
[k^2 = (k_0 + 2k_1)^2 = k_0^2 + 4k_0k_1 + 4k_1^2 = k_0 + 4k_0k_1 + 4k_1]
所以 (f(k) = k^2 + 2) 可以表示为二进制变量的多项式：
[f(k) = k_0 + 4k_0k_1 + 4k_1 + 2]

我们使用元组列表来表示要编码的多项式的各项，每个项（单项式）表示为一个元组，第一个元素是系数，第二个元素是二进制变量（量子比特）列表。若包含常数项，则使用第二个元素为空列表的元组。例如：

terms = [(4, [1]), (4, [1, 0]), (1, [0]), (2, [])]

为了编码每个项，定义了 encode_term 函数：

def encode_term(coeff, vars, circuit, key, value):
    for i in range(len(value)):
        if len(vars) > 1:
            circuit.mcp(pi * 2 ** -i * coeff, [key[j] for j in vars], value[i])
        elif len(vars) > 0:
            circuit.cp(pi * 2 ** -i * coeff, key[vars[0]], value[i])
        else:
            circuit.p(pi * 2 ** -i * coeff, value[i])

还定义了 build_polynomial_circuit 函数来编码任何表示为元组列表（项）的多项式：

def build_polynomial_circuit(key_size, value_size, terms):
    key = QuantumRegister(key_size)
    value = QuantumRegister(value_size)
    circuit = QuantumCircuit(key, value)
    for i in range(len(key)):
        circuit.h(key[i])
    for i in range(len(value)):
        circuit.h(value[i])
    for (coeff, vars) in terms:
        encode_term(coeff, vars, circuit, key, value)
    circuit.iqft(value[::-1], swap=False)
    return circuit

以 (n = 2) 为例，编码 (f(k) = k^2 + 2) 函数，需要 4 个值量子比特：

n_key = 2
n_value = 4
qc = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)

再看另一个例子，对于函数 (f(k) = k^2 - 5k + 7)，输入为整数 ({0, 1, 2, 3})，将 (k) 展开为二进制表达式后，该函数变为二进制变量的多项式：

terms = [(-6, [1]), (4, [1, 0]), (-4, [0]), (7, [])]

使用 2 个键量子比特和 3 个值量子比特进行编码：

n_key = 2
n_value = 3
qc = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)

4. 多项式编码电路复杂度分析

假设我们有一个 (n) 量子比特的键寄存器、一个 (m) 量子比特的值寄存器，且多项式有 (t) 项（单项式）。编码项系数的电路使用：
- (n + m) 个哈达玛门
- (mt) 个受控相位门

然后对值寄存器应用 IQFT，使用：
- (m) 个哈达玛门
- (m(m - 1)/2) 个受控相位门

总共应用的门数为：
[n + (t + 2)m + \frac{m(m - 1)}{2}]

可以使用以下断言语句来验证总门数：

qc = build_polynomial_circuit(n, m, terms)
t = len(terms)
assert len(qc.transformations) == n + (t + 2)*m + m*(m - 1 )/2

对于二次多项式（常用于许多优化问题），项数最多为 (n(n + 1)/2 + 1)（一个常数项、(n) 个单变量项和 (n(n - 1)/2) 个双变量项）。这意味着编码二进制变量二次多项式的项数是量子比特数的低次多项式。

5. 负值表示

我们可以将长度为 (m > 0) 的 (2^m) 个二进制字符串映射到长度为 (2^m) 的任何整数范围。默认情况下，我们使用 ([0, 2^m - 1]) 范围的整数。二进制补码表示允许我们将以 0 开头的二进制字符串映射到 ([0, 2^{m - 1} - 1]) 范围，以 1 开头的二进制字符串映射到 ([-2^{m - 1}, -1]) 范围。

例如，要编码函数 (f(k) = k^2 - 3)，输入为整数 ({0, 1, 2, 3})，将其表示为二进制变量的多项式：

terms = [(4, [1]), (4, [1, 0]), (1, [0]), (-3, [])]

使用 2 个键量子比特和 4 个值量子比特进行编码：

n_key = 2
n_value = 4
qc = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)

为了可视化结果状态，将 grid_state 函数的第三个参数设置为 neg = True ：

grid_state(qc.run(), n_key, neg = True, show_probs = False)

6. 函数值搜索

当函数被编码到量子态后，所有输入 - 输出对具有相等的测量概率。若我们对特定结果感兴趣，可以使用 Grover 算法来放大测量这些结果的概率。例如，搜索输出为负值或在给定范围内的对。

我们可以使用匹配二进制位的简单预言机，以下是两个 Python 函数，用于创建在 tag_bit 位置匹配 1 或 0 的预言机：

def oracle_match_1(bits, tag_bit):
    q = QuantumRegister(bits)
    qc = QuantumCircuit(q)
    qc.p(pi, tag_bit)
    return qc

def oracle_match_0(bits, tag_bit):
    q = QuantumRegister(bits)
    qc = QuantumCircuit(q)
    qc.x(q[tag_bit])
    qc.p(pi, tag_bit)
    qc.x(q[tag_bit])
    return qc

例如，要找到函数 (f(k) = k + 1) 中输出值为 4 或更大的输入值，首先编码该函数：

n_key = 2
n_value = 3
terms = [(2, [1]), (1, [0]), (1, [])]
prepare = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)

创建一个在值寄存器第一位匹配 1 的预言机，并使用它创建 Grover 算子：

from algo import grover_circuit
oracle = oracle_match_1(n_key + n_value, n_key + n_value - 1)
qc = grover_circuit(prepare, oracle, 1)

再看搜索负值的例子，编码函数 (f(k) = k^2 - 5)，并搜索输出小于 -4 的值：

n_key = 2
n_value = 4
terms = [(4, [1]), (4, [1, 0]), (1, [0]), (-5, [])]
prepare = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)

定义一个在值寄存器第一位匹配 1 且第二位匹配 0 的预言机，并在 Grover 算子中使用它：

q = QuantumRegister(n_key + n_value)
oracle = QuantumCircuit(q)
oracle.x(q[n_key + n_value - 2])
oracle.cp(pi, n_key + n_value - 2, n_key + n_value - 1)
oracle.x(q[n_key + n_value - 2])
qc = grover_circuit(prepare, oracle, 1)

7. 多项式函数零点查找

寻找函数值为 0 的输入的算法在各个领域都有广泛应用，如金融工程、统计学和机器学习、密码学等。实际中，搜索空间（函数的输入 - 输出对）可能非常大。

以二次多项式 (f(k) = k^2 - 4)（(0 \leq k < 8)）为例，使用以下代码将其编码到量子态：

n_key = 2
n_value = 4
terms = [(4, [1]), (4, [1, 0]), (1, [0]), (-4, [])]
qc = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)

使用以下 Python 函数创建一个指定值寄存器所有位都为 0 的结果的预言机：

def oracle_match_0_multi(bits, tag_bits):
    q = QuantumRegister(bits)
    qc = QuantumCircuit(q)
    for t in tag_bits:
        qc.x(q[t])
    qc.mcp(pi, [q[t] for t in tag_bits[:-1]], q[len(q) - 1])
    for t in tag_bits:
        qc.x(q[t])
    return qc

创建预言机并应用 Grover 算子：

prepare = build_polynomial_circuit(n_key, n_value, terms)
oracle = oracle_match_0_multi(
    n_key + n_value,
    [n_key + i for i in range(n_value)]
)
qc = grover_circuit(prepare, oracle, 1)

综上所述，通过对函数输入输出的编码、不同类型函数的编码方法、复杂度分析以及搜索技术和零点查找算法的介绍，我们可以看到量子计算在解决复杂问题方面的潜力和应用前景。

mermaid 流程图示例：

graph TD;
    A[函数编码] --> B[线性函数编码];
    A --> C[多项式函数编码];
    B --> D[背包问题编码];
    C --> E[二次多项式编码];
    D --> F[价值编码];
    D --> G[重量编码];
    E --> H[负值表示];
    F --> I[创建电路];
    F --> J[应用旋转];
    F --> K[应用 IQFT];
    G --> I;
    G --> J;
    G --> K;
    H --> L[二进制补码];
    L --> M[设置参数];
    M --> N[编码函数];
    N --> O[可视化结果];
    A --> P[函数值搜索];
    P --> Q[Grover 算法];
    Q --> R[创建预言机];
    R --> S[应用预言机];
    S --> T[测量结果];
    A --> U[多项式函数零点查找];
    U --> V[编码函数];
    V --> W[创建预言机];
    W --> X[应用 Grover 算子];
    X --> Y[测量结果];

以上就是关于量子态中函数编码与搜索技术的详细介绍，希望能帮助你更好地理解和应用这些技术。

量子态中函数编码与搜索技术详解

8. 函数编码与搜索的操作流程总结

为了更清晰地展示函数编码与搜索的操作流程，我们将其总结如下：

8.1 函数编码流程

1. 确定函数类型 ：判断是线性函数还是多项式函数。
2. 确定寄存器参数 ：确定键寄存器（ n_key ）和值寄存器（ n_value ）的量子比特数。
3. 表示函数项 ：使用元组列表表示函数的各项，每个元组包含系数和变量列表。
4. 创建电路 ：使用 build_polynomial_circuit 函数创建量子电路。
5. 应用操作 ：对寄存器应用哈达玛门、相位旋转和逆量子傅里叶变换（IQFT）。

8.2 函数值搜索流程

1. 编码函数 ：按照函数编码流程将函数编码到量子态。
2. 定义预言机 ：根据搜索条件定义预言机，如匹配特定二进制位。
3. 创建 Grover 算子 ：使用 grover_circuit 函数结合编码电路和预言机创建 Grover 算子。
4. 应用 Grover 算子 ：对编码后的量子态应用 Grover 算子。
5. 测量结果 ：测量量子态以获得满足搜索条件的输入 - 输出对。

9. 不同类型函数编码示例对比

为了更好地理解不同类型函数的编码方法，我们将线性函数和多项式函数的编码示例进行对比。

函数类型	函数表达式	项表示	键量子比特数	值量子比特数
线性函数	(f(k) = k + 1)	[(2, [1]), (1, [0]), (1, [])]	2	3
多项式函数	(f(k) = k^2 + 2)	[(4, [1]), (4, [1, 0]), (1, [0]), (2, [])]	2	4
多项式函数	(f(k) = k^2 - 5k + 7)	[(-6, [1]), (4, [1, 0]), (-4, [0]), (7, [])]	2	3

从对比中可以看出，多项式函数的项表示更为复杂，需要考虑多个变量的组合。同时，多项式函数可能需要更多的值量子比特来准确表示输出。

10. 预言机创建与应用的技术要点

预言机在函数值搜索中起着关键作用，下面总结预言机创建与应用的技术要点：

10.1 预言机类型

• 匹配 1 的预言机 ： oracle_match_1 函数用于创建在指定位置匹配 1 的预言机。
• 匹配 0 的预言机 ： oracle_match_0 函数用于创建在指定位置匹配 0 的预言机。
• 多位置匹配预言机 ：如 oracle_match_0_multi 函数用于创建在多个指定位置匹配 0 的预言机。

10.2 预言机创建步骤

1. 确定量子比特数 ：根据编码电路的总量子比特数确定预言机的量子比特数。
2. 应用操作 ：根据匹配条件对量子比特应用相位旋转、X 门等操作。

10.3 预言机应用

将创建好的预言机与编码电路结合，使用 grover_circuit 函数创建 Grover 算子，然后对量子态进行操作以放大满足条件的结果的测量概率。

11. 复杂度分析对实际应用的影响

多项式编码电路的复杂度分析对实际应用具有重要影响，主要体现在以下几个方面：

11.1 资源需求

复杂度分析表明，编码多项式函数所需的门数与键寄存器量子比特数（ n ）、值寄存器量子比特数（ m ）和函数项数（ t ）有关。在实际应用中，需要根据问题的规模合理选择寄存器的量子比特数，以避免资源过度消耗。

11.2 问题规模限制

对于二次多项式，项数最多为 (n(n + 1)/2 + 1)，这意味着随着量子比特数的增加，项数也会增加。在实际应用中，需要考虑问题的复杂度，避免项数过多导致电路过于复杂而难以实现。

11.3 优化策略

通过限制多项式项中的变量数量，可以降低电路的复杂度。例如，将变量数量限制为 2，得到二次多项式，通常足以编码一些复杂的优化问题。

12. 常见问题及解决方法

在函数编码与搜索过程中，可能会遇到一些常见问题，以下是一些解决方法：

12.1 结果不准确

• 原因 ：可能是由于量子比特数不足、预言机定义不准确或 Grover 算子应用次数不当。
• 解决方法 ：增加量子比特数、检查预言机的定义和调整 Grover 算子的应用次数。

12.2 电路复杂度高

• 原因 ：函数项数过多或变量数量过多。
• 解决方法 ：简化函数表达式，限制变量数量，采用低次多项式。

12.3 负值表示问题

• 原因 ：未正确使用二进制补码表示负值。
• 解决方法 ：确保在编码负值时使用二进制补码，并正确设置相关参数。

13. 未来发展趋势

量子计算在函数编码与搜索领域具有广阔的发展前景，未来可能会朝着以下方向发展：

13.1 算法优化

不断改进编码算法和搜索算法，提高算法的效率和准确性，降低电路复杂度。

13.2 硬件发展

随着量子硬件技术的不断进步，量子比特的数量和质量将不断提高，能够处理更复杂的问题。

13.3 跨领域应用

将函数编码与搜索技术应用到更多领域，如生物信息学、材料科学等，解决更多实际问题。

14. 总结

本文详细介绍了量子态中函数编码与搜索技术，包括函数输入输出编码、背包问题编码、多项式函数编码、复杂度分析、负值表示、函数值搜索和多项式函数零点查找等方面。通过具体的代码示例和操作流程总结，帮助读者更好地理解和应用这些技术。同时，分析了复杂度对实际应用的影响，提出了常见问题的解决方法，并展望了未来的发展趋势。希望读者能够通过本文深入了解量子计算在函数编码与搜索领域的应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。

mermaid 流程图示例：

graph LR;
    A[函数编码与搜索流程] --> B[函数编码];
    A --> C[函数值搜索];
    A --> D[零点查找];
    B --> E[确定函数类型];
    B --> F[确定寄存器参数];
    B --> G[表示函数项];
    B --> H[创建电路];
    B --> I[应用操作];
    C --> J[编码函数];
    C --> K[定义预言机];
    C --> L[创建 Grover 算子];
    C --> M[应用 Grover 算子];
    C --> N[测量结果];
    D --> O[编码函数];
    D --> P[创建预言机];
    D --> Q[应用 Grover 算子];
    D --> R[测量结果];
    E --> S[线性函数];
    E --> T[多项式函数];
    K --> U[匹配 1 预言机];
    K --> V[匹配 0 预言机];
    K --> W[多位置匹配预言机];

通过以上内容，我们对量子态中函数编码与搜索技术有了更全面的认识，希望这些知识能够为相关领域的研究和应用提供有益的参考。