2、线性算子与矩阵：全面解析与应用

线性算子与矩阵：全面解析与应用

1. 矩阵基础与性质

矩阵在数学和工程领域中具有广泛应用，它可以自然地表示一组联立线性方程。以基尔霍夫方程为例，图论中的关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵都与矩阵的应用密切相关。

矩阵具有多种性质，下面为你详细介绍：
- 方阵 ：当矩阵的行数 (m) 等于列数 (n) 时，该矩阵被称为方阵。方阵的主对角线由元素 (m_{ii}) 组成。
- 三角矩阵 ：若方阵中所有 (i > j) （或 (i < j) ）时 (m_{ij} = 0)，则该方阵被称为上（下）三角矩阵。
- 对角矩阵 ：当方阵中所有 (i \neq j) 时 (m_{ij} = 0)，此方阵为对角矩阵。若对角矩阵的所有 (m_{ii} = 1)，则它是单位矩阵。
- 行向量和列向量 ：行向量是 (m = 1) 的特殊矩阵，列向量是 (n = 1) 的特殊矩阵。当 (m = n = 1) 时，矩阵本质上就是一个标量。

考虑一个 π 型网络，其节点电压 (V_i)（(i = 1, 2)）和电流源 (i_i)（(i = 1, 2)）连接在电阻 (R_i)（(i = 1, 2)）上，桥接电阻为 (R_3)。未知节点电压可以用已知的源电流表示为：
(\frac{(R_1 + R_3)}{R_1R_3}V_1 - \frac{1}{R_3}V_2 = i_1)
(\frac{(R_2 + R_3)}{R_2R_3}V_2 - \frac{1}{R_3}V_1 = i_2)