Fourier series 傅里叶级数

发明初衷及公式

之前学过用泰勒级数（非周期函数）去拟合一个函数，但用非周期函数去拟合一个周期函数，无法较好的体现其性质

用一些基本的周期函数即sin/cos去拟合周期为2Π（如果函数无周期或周期不是2Π的解决方案分别是展开和替换变量，见后）函数，因此引入三角级数又称傅里叶级数

其中w为信号的频率，w = 2Π / T。后面都讨论T =2Π的情况，故w=1可省略不写

也可利用欧拉公式将其写为复指数形式，你看到有cos有sin还想不到我们大名鼎鼎的欧拉大人嘛？

                                    

                

三角函数系及其正交性

正交也就意味着数量积为0，其中(2)为0的原因是因为自变量相差cos的一个周期，所以值相同

345用积化和差证明

系数an和bn的推导

prove：

展开方法及Dirichlet狄利克雷收敛定理

1.将需要转化的函数变成周期函数，再将展开的函数的定义域限制在（-Π，Π）中

2.套公式求出a0，an，bn。再套公式求出F（x）

3.可以发现拓展后的函数在nΠ的点处不连续

狄利克雷收敛条件：该处理思路是既然傅里叶级数展开的合函数在某些点不连续，没法拟合原来的值，所以只能取就取该点左极限和右极限各的一半即平均值。

正弦级数和余弦级数

周期为2L的函数如何展开

通过变量代换将函数变成一个新的函数周期为2Π即可