Complex Number & Euler’s formula

先解释一下是怎么来到这里的(雾...学习Games101为解决走样问题需要对输入信号进行模糊化，这个过程要用到傅里叶变换，傅里叶变换的理解中又涉及欧拉公式(3B1B)。此外在unity学习四元数的时候也初见欧拉公式端倪(毕竟人家是欧拉角的替换方案），然而同济教材对欧拉方程描述一言难尽，我们学校直接跳过了傅里叶变换的部分，所以自学记录一下。借鉴了大量教程，只要我记得来源的都会标注在最下面。

complex number 复数

封闭性

如果对一个集合的成员进行运算 的成员总是产生该集合的成员，那么这个集合就是封闭的(Set is closed)

 自然数(不包括0)在加法运算下是封闭的，但在减法运算下不是。 我们需要扩展自然数集，把 0 和负数包括进来才能使自然数集在减法运算下封闭。

 整数是集合 Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}。
 整数在加法和减法运算下是封闭的。如果我们引入除法运算，就需要扩展我们的数系，将分数也包括在内。 

有理数在加法、减法、乘法、除法中都是封闭的。  但幂和根不封闭。Real numbers are closed under addition, subtraction, multiplication and division, but not under power and roots.

 在 R 中，方程 x2 = -1 没有解。我们可以从 R因此，我们发明了一个新的数，称为虚数imaginary numbers i。

 实数加上虚数，就是最广泛的一类数： 复数。

 模长：

共轭复数(complex conjugate)

辐角 Argument of a complex number & 辐角主值 principle value of the argument

注意其范围和表示

一定要画图，因为tanx的周期是Π，计算的辐角值+Π也能得到相同的tanb/a，所以要看图决定是否加Π（周期）

复数的3种表达方式

表示复数的方法有：

1.定义中的实数+虚数

2.复平面中通过向量的坐标表示

3.复平面中结合极坐标用三角函数表示

笛卡尔和极坐标表示的转化

从Cartesian到polar将三角函数的值算出即可

如果X/Y =0，画图就可知道角度，不用再计算了

如果用tan的方式计算从笛卡尔到极坐标的角度转换，先画图判断笛卡尔表示下复数在第几象限，因为tan的周期是Π，对于角度不同的角，结果是一样的，要根据实际角度，加减Π调整结果

当tan y(虚部)/x(实部)=0时，通过自己画图转化为极坐标表示。

如果题目给出复数的图像，也可以直接看图得出复数的polar form

 运算

加减法

 除法

笛卡尔表示：把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭。互为共轭的两个复数相乘是个实常数。这样做主要是在进行除法运算时，使分母变成一个实数，方便计算。

极坐标表示

乘法

定义表示： (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

极坐标表示:”模相乘，角相加“

证明：用到了两角和的余弦公式

一般形式：乘方

i 的乘法具有将矢量 z 逆时针旋转的几何效果。
 z逆时针旋转 90 o 的几何效果 后面会有解释

De Moivre 公式（棣莫弗定理）

证明：欧拉公式

 

eg：

 应用：求N倍角公式

复数高次幂应用德摩根公式(using De moivre's theorem) = 复数高次幂完全次方公式拆开的结果(expanding brackets)，等式两侧根据实部和虚部系数相对应相等得到N倍角公式

复数根

eg1：计算含幂复数的根(root):De moivre

注意r大于0

复数转化为极坐标表示时注意tanx通过画图判断是否要加0

如果用Demovir通常是有幂，多少幂就有多少个根或者解，所以要在转化的那一步没进行任何操作时，给角度加2kΠ

 eg2 求解复数方程：De moivre

1.等式两侧写为极坐标形式(你这提示我早悟出来了)，高次幂复数应用德摩根公式展开

2.求r的特解，角度的通解(+2Π)，每个解都小于2Π(因为大于2Π就与之前的解重合了)

3.求Z的通解

由于y/x = 0，看图即可知道角度

eg4.通解公式quadratic formula + 设欧拉解/ 凑平方complete the square求复数多于一项的复数方程的根

eg5.根据复数根的共轭性将一个根拓展到两个根，从而找到该方程的其他根Roots of Polynomials

因为我们这个因子一定是方程的解，所以余数一定为0即方程可以被解整除

 

eg6. 已知根找可能方程

eg7 Real zero 虚实零点

        

eg8 使方程满足解

求多项式相除余数remainder：Remainder Theorrm 多项式余式定理 / 长除法

Theorem意思是定理，Theory意思是理论

可以用长除法求

eg1:

eg2:

eg3：

2.欧拉公式

2.1 形式

这两个形式也被称为双曲函数，hyperbolic

2.2 验证(不是证明)

用泰勒展开去证明欧拉公式是错误的，由于在复数域中的泰勒级数展开、求导等运算均需要用到欧拉公式，造成循环论证，就好比你要证明1+1=2，于是先自顾自的规定了0.5+0.5 =1。但不失为一种验证方式：

验证 - 3B1B

i 的几何意义

想象一个复数Z = 0 + i ，在复平面中的坐标即为（0，1），此时我们从图像观察该复数的位置辐角是90°，模是1，用三角函数表示该复数：

此时再思考Z i ，此时模长没有变化，俯角增加90°(模相乘角相加）

至此我们赋予i在复平面单位圆中几何意义：不改变复数所代表的向量模长并逆时针旋转90°

重点：，该函数的随自变量变化的图像就是复平面的单位圆，是周期函数。而复平面单位圆可以用极坐标表示，两者联立起来，便可以得到欧拉公式

在复平面中复数z可用三角函数表示，cosθ^2 + sinθ^2 =1

因为e^iθ当θ =0°时r =1。而由上函数的变化率不改变函数值的大小，且由于变化率垂直于函数所以而e^iθ在复平面的函数图像也是一个半径为1的单位圆

因此两种表示Z的方式的范围是一样的，都是单位圆，因此可以相互等价。由此可建立等式

证明 - 泰勒公式

2.3 应用

例题：

定义->极坐标复数，通过欧拉公式转化为Exponenial指数复数

欧拉形式的复数转化为极坐标->定义复数

Hyperbolic and trigonometric functions 双曲和三角函数

eg:利用上面的结论证明三角恒等式对于双曲函数也成立

Osborne's Rule（奥斯本法则）

eg：

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reference

棣莫弗定理_百度百科 (baidu.com)

复数运算法则_百度百科 (baidu.com)

欧拉公式 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.orgz