30、多层人工神经网络的实现与手写数字分类

多层人工神经网络的实现与手写数字分类

1. 前向传播激活神经网络

前向传播是计算多层感知器（MLP）模型输出的过程。MLP的学习过程可总结为以下三个步骤：
1. 从输入层开始，将训练数据的模式通过网络前向传播以生成输出。
2. 根据网络的输出，使用成本函数计算需要最小化的误差。
3. 反向传播误差，找到网络中每个权重的导数，并更新模型。

重复这三个步骤多个周期，学习MLP的权重后，使用前向传播计算网络输出，并应用阈值函数以获得独热编码表示的预测类别标签。

前向传播生成输出的具体步骤如下：
由于隐藏层中的每个单元都与输入层中的所有单元相连，首先计算隐藏层的激活单元 $a_1^{(h)}$：
$z_1^{(h)} = a_0^{(ii)}w_{0,1}^{(h)} + a_1^{(ii)}w_{1,1}^{(h)} + \cdots + a_m^{(ii)}w_{m,1}^{(h)}$
$a_1^{(h)} = \phi(z_1^{(h)})$

其中，$z_1^{(h)}$ 是净输入，$\phi(\cdot)$ 是激活函数，为了使用基于梯度的方法学习连接神经元的权重，激活函数必须是可微的。为了解决复杂问题，如图像分类，MLP模型中需要非线性激活函数，例如Sigmoid（逻辑）激活函数：
$\phi(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

Sigmoid函数是一个S形曲线，将净输入z映射到0到1范围内的逻辑分布，在z = 0处与y轴相交。

MLP是前馈人工神经网络的典型示例，前馈指的是每个层作为下一层的输入，没有循环。为了提高代码效率和可读性，