12、特征选择与数据降维：原理、算法及应用

特征选择与数据降维：原理、算法及应用

1. 特征选择概述

在机器学习中，降低模型复杂度并避免过拟合的一种有效方法是通过特征选择进行降维，这对于未正则化的模型尤为有用。降维技术主要分为两类：特征选择和特征提取。特征选择是从原始特征中选取一个子集，而特征提取则是从特征集中提取信息以构建新的特征子空间。

1.1 顺序特征选择算法

顺序特征选择算法是一类贪心搜索算法，用于将初始的 $d$ 维特征空间缩减为 $k$ 维特征子空间（$k < d$）。其目的是自动选择与问题最相关的特征子集，提高计算效率，或通过去除无关特征或噪声来降低模型的泛化误差，这对于不支持正则化的算法非常有用。

1.2 顺序向后选择（SBS）算法

顺序向后选择（SBS）算法是一种经典的顺序特征选择算法，旨在以最小的分类器性能衰减来降低初始特征子空间的维度，从而提高计算效率。在某些情况下，如果模型存在过拟合问题，SBS 甚至可以提高模型的预测能力。

1.2.1 SBS 算法原理

SBS 算法的思想很简单：它从完整的特征子集中依次移除特征，直到新的特征子空间包含所需数量的特征。为了确定每个阶段要移除的特征，我们需要定义一个准则函数 $J$，并使其最小化。准则函数计算的准则可以是移除某个特定特征前后分类器性能的差异。然后，每个阶段要移除的特征可以定义为使该准则最大化的特征，即每次移除后导致性能损失最小的特征。

1.2.2 SBS 算法步骤

1. 初始化算法，令 $k = d$，其中 $d$ 是完整特征空间 $X_d$ 的维度。
2. 确定使准则最大化的特征 $x