19、贝叶斯统计中的先验分布与A/B测试

贝叶斯统计中的先验分布与A/B测试

1. 共轭先验

在贝叶斯统计中，共轭先验是一个重要的概念。当使用二项式数据时，若先验分布为Beta分布，那么其后验分布同样为Beta分布，可表示为：
[
\underset{\text{先验}}{\underbrace{\text{Beta}}} \cdot \underset{\text{数据}}{\underbrace{\text{Binomial}}} = \underset{\text{后验}}{\underbrace{\text{Beta}}}
]
需要注意的是，这并非真正意义上的等式，只是一种模型。这种特性非常实用，它使我们无需使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，因为后验分布可以通过封闭形式直接得出，便于进行推理和分析，这也是贝叶斯多臂老虎机算法的核心。

一般来说，若随机变量 (X) 服从某一知名分布 (f_{\alpha})（(\alpha) 为可能未知的参数，例如正态分布、二项分布等），对于特定的分布 (f_{\alpha})，可能存在一个先验分布 (p_{\beta})，使得：
[
\underset{\text{先验}}{\underbrace{p_{\beta}}} \cdot \underset{\text{数据}}{\underbrace{f_{\alpha}(X)}} = \underset{\text{后验}}{\underbrace{p_{\beta’}}}
]
其中 (\beta’) 是一组不同的参数，但 (p) 与先验分布属于同一类型。满足这种关系的先验 (p) 被称为共轭先验。从计算角度来看，共轭先验很有用，因为可以直接得到后验分布，避免了使用