21、计算复杂性：可计算性、难解问题与布尔电路

计算复杂性：可计算性、难解问题与布尔电路

1. 可证明的难解问题

在计算复杂性理论中，有一些有趣的问题已被证明是难解的。一般的方法是证明一个问题对于一个已知包含难解问题的复杂性类是完全的。通过之前的研究结果，我们知道有几个复杂性类包含难解集合。如果一个集合L对于一个包含难解集合的复杂性类C是完全的（使用我们研究过的任何可归约性），那么很容易看出L是难解的。

例如，Meyer和Stockmeyer证明了带有“平方”的正则表达式不等价问题是难解的。他们证明了这个问题对于$\bigcap_{c>0} DSPACE(2^{nc})$是$\leq_{P}^{m}$ - 完全的。因为$\bigcap_{c>0} DSPACE(2^{nc})$包含EXP，并且根据时间层次定理，EXP包含难解集合，所以他们的结论成立。

Fischer和Rabin证明了Presburger算术理论对于NEXP是$\leq_{P}^{m}$ - 难的，因此Presburger算术理论是难解的。这两个结果的证明可以在相关文献中找到。

2. 额外的作业问题

• 顶点覆盖问题的近似算法
  • 顶点覆盖问题的近似算法是一个在多项式时间内运行的算法，给定一个图G作为输入，它能找到G的一个顶点覆盖。对于任何图G，设Opt - VC(G)是G的最小顶点覆盖的大小。我们希望找到一个近似算法，使得找到的顶点覆盖的大小尽可能接近Opt - VC(G)。
    • 证明如果存在一个顶点覆盖问题的近似算法，它总是能找到大小为Opt - VC(G)的顶点覆盖，那么P = NP。 </