21、计算复杂性中的难解问题与布尔电路分析

计算复杂性中的难解问题与布尔电路分析

1. 可证明的难解问题

在计算复杂性领域，有一些有趣的问题已被证明是难解的。通常的做法是证明一个问题对于一个已知包含难解问题的复杂性类是完全的。

例如，Meyer和Stockmeyer证明了带“平方”的正则表达式不等价问题是难解的。他们证明了该问题对于 $\bigcap_{c>0} DSPACE(2^{nc})$ 是 $\leq_{P}^{m}$ - 完全的。由于 $\bigcap_{c>0} DSPACE(2^{nc})$ 包含EXP，且根据时间层次定理，EXP包含难解集合，所以该问题是难解的。

Fischer和Rabin证明了Presburger算术理论对于NEXP是 $\leq_{P}^{m}$ - 难的，因此Presburger算术理论是难解的。

2. 额外的作业问题

以下是一些相关的作业问题，这些问题有助于深入理解计算复杂性的概念。
- 作业7.18 - 顶点覆盖问题的近似算法
- 顶点覆盖问题的近似算法是一个在多项式时间内运行的算法，给定一个图 $G$ 作为输入，它能找到 $G$ 的一个顶点覆盖。对于任何图 $G$，设 $Opt - VC(G)$ 是 $G$ 的最小顶点覆盖的大小。
- 证明如果存在一个顶点覆盖问题的近似算法，它总是能找到大小为 $Opt - VC(G)$ 的顶点覆盖，那么 $P = NP$。
- 找到一个顶点覆盖问题的近似算法，使得对于任何图 $G$，该算法找到的 $G$ 的顶点覆盖的大小不超过 $2(Opt - VC(G))$。提示：一个直接的“贪心”算法具有此性质。