17、非确定性、NP 完全性与相对可计算性

非确定性、NP 完全性与相对可计算性

在计算复杂性理论中，非确定性和 NP 完全性是非常重要的概念，它们帮助我们对各种计算问题进行分类和理解。

非确定性与 NP 完全性

CLIQUE 问题属于 NP 类。给定图 G 和整数 j ≤ ∥V∥，可以通过猜测一个大小 ≥ j 的子图，然后判断它是否为团（clique）来验证。同时，我们可以证明 VERTEX COVER ≤Pm CLIQUE。对于图 G = (V, E)，其补图 Gc = (V, Ec)，其中 Ec = {(u, v) | u ∈ V, v ∈ V, 且 (u, v) ∉ E}。对于 VERTEX COVER 问题的一个实例，即图 G 和正整数 k ≤ ∥V∥，多项式时间归约的输出是 Gc 和整数 ∥V∥ - k。

如果 V′ 是图 G 的一个顶点覆盖，那么 V - V′ 是 Gc 的一个团。因为对于 G 中的每条边，至少有一个相邻顶点在 V′ 中，所以对于 V - V′ 中的任意两个顶点 u 和 v，(u, v) ∉ E，即 (u, v) ∈ Ec。反之，如果 V′ 是 Gc 的一个团，那么 V - V′ 是图 G 的一个顶点覆盖。

除了上述问题，还有两个额外的 NP 完全问题：3 - DIMENSIONAL MATCHING 和 PARTITION。
- 3 - DIMENSIONAL MATCHING ：实例是一个集合 M ⊂ W × X × Y，其中 W、X 和 Y 是不相交且元素个数均为 q 的集合。问题是是否存在 M 的一个子集 M′，使得 ∥M′∥ = q 且 M′ 中任意两个元素在任何坐标上都不相同。
- PA