算法设计与分析笔记——NP完全性

本文深入探讨了NP完全性问题,包括P、NP、NP-hard和NPC的概念,通过汉密尔顿路径问题作为示例。文章介绍了如何证明一个问题属于NP,以及如何通过约化方法证明NPC问题,特别讨论了SAT问题在证明过程中的关键角色。

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引言

汉密尔顿路径问题是一个典型的NP完全问题,看下面的视频能有一个直观印象。
【Ted-ED】病毒谜题:汉密尔顿路径/NP完全问题 The Virus Riddle

定义

P(Polynomial):在多项式时间内可解的判定问题
NP(Non-deterministic Polynomial):在多项式时间内可验证的判定问题
NP-hard(NP难):难度不低于所有NP问题的问题
NPC(NP完全):NP-hard问题与NP问题的交集,即所有NP问题中最难的

可以把多项式时间验证算法看成下面不确定的方式搜索证据空间:对给定的实例I,“猜想”一个t,检查t能否证明I就是所求的解。猜想和检查都可在多项式时间内完成,并当且仅当I是解时能正确地猜想到一个证据t。这种不确定的搜索方式,称作非确定型多项式时间算法(普通算法称为确定性算法)。一个判定问题∈NP,当且仅当该问题存在非确定型多项式时间算法。非确定型多项式时间算法只是为了刻画可验证性提出的概念,为了得到确定的结果,必须搜索整个可能的证据空间,通常需要指数级时间。

NPC问题举例:判定一个图中是否存在Hamilton回路。猜想一个路径,很容易在多项式时间验证它是否符合要求。一旦猜中一个路径,该路径必是最优解。

非NP问题举例:判定一个图中是否不存在Hamilton回路。这样问题就没法在多项式的时间里进行验证了,除非试过所有路径,否则你不敢断定它“没有Hamilton回路”。

P、NP、NP-hard、NPC关系如下:

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